איך להכין פולידרון תלת מימדי מנייר. איך להכין פולידרון מנייר. פוליהדרת נייר - דיאגרמות. פנים שונות - צורות שונות

איך לעשות פוליידרון?

הצורך להכין פולידרון מתעורר לעתים רחוקות, אבל קורה שילד מקבל את המשימה הזו עבור שיעורי בית או שאתה מחליט לעשות מתנה מקורית לחבר. או אולי יש לך רעיון עיצובי כלשהו. כך או אחרת, הייתי זקוק לפוליהדרון מנייר. איך להדביק את זה?

הכנת פוליהדרון מנייר

כדי להקל על תיאור תהליך העבודה, נספר לכם כיצד ליצור פירמידה משולשת או טטרהדרון ABCD מנייר. זוהי דמות בעלת ארבעה פנים בצורת משולשים שווי צלעות. לעבודה נצטרך:

ראשית, צייר על הנייר קרוב יותר לקצה התחתון של הגיליון (אך לא ממש בקצה!) את בסיס הטטרהדרון - משולש שווה צלעות ABC. זה יהיה נוח יותר לצייר אותו עם החלק העליון למטה, אבל זה לא חשוב.

כדי להפוך את המשולש לשווה צלעות באמת, עדיף להשתמש בסרגל ומצפן. צייר קו ישר וחתוך קטע AB שווה לצלע המשולש. נקודות A ו-B יהיו שני הקודקודים של המשולש. לאחר מכן, באמצעות מצפן, נצייר שתי קשתות באותו גודל מדויק עם מרכזים בנקודות A ו-B. בצומת הקשתות יהיה קודקוד שלישי C.

אם אתה לא רוצה לעבוד עם מצפן, אתה יכול להשתמש במד זווית. הזוויות במשולש שווה צלעות הן 60 מעלות. מנקודות A ו-B אנו מציירים קרניים בזווית של 60 מעלות לקטע. נקודת החיתוך שלהם תהיה קודקוד C.

יש סיבה. עכשיו אתה צריך להוסיף לו עוד שלושה משולשים זהים - פני הצד של הטטרהדרון. העיקרון של בניית משולשים נשאר זהה, רק אנחנו לוקחים את המצוירים כבר כבסיס למשולשים-פנים חדשים הצדדים ABC. נקבל שלושה משולשים נוספים: ABD`, BCD`` ו-CAD```.

נצטרך לאסוף את כל שלושת הקודקודים D`, D``, D``` לנקודה D אחת ולהדביק את הדמות. להדבקה, יהיה עליך לצייר רצועות נייר נוספות ברוחב של כ-0.5 ס"מ לצדדים A D`, B D`` ו-C D```.

כעת ניתן לגזור את הצורה המתקבלת, לכופף אותה בזהירות לאורך כל הקווים, למרוח רצועות דבק נוספות ולהדביק אותה יחד.

פיתוח דמויות מורכבות יותר נעשה באותו אופן. אבל אם אתה לא רוצה לחשוב בעצמך, אתה יכול למצוא כאלה מוכנים באינטרנט. לדוגמה, הנה ההתפתחויות של מספר דמויות בבת אחת.

מודלים של פוליהדרה כבר פורסמו כאן (http://master.forblabla.com/blog/45755567715/Mnogogranniki), אבל אני רוצה להוסיף משלי. הקישור זהה, אל wenninger.narod.ru. קודם קיבלתי ספר, אחר כך, כשהתחברתי לאינטרנט, אפילו כתבתי מכתב לסופר וקיבלתי תשובה, אחר כך הספר והמכתב אבדו, אבל מצאתי את האתר והמשכתי לעשות דגמים.

אם אתה מעוניין, אוכל לצלם כל אחד בנפרד.

אלכסנדר

ובכן, לבקשת העובדים, אני מפרסם תמונות של כל הפוליהדרות. אני לא ממש זוכר את השמות, אני מסווג אותם לפי זווית פוליהדרלית. הספר (Wenninger. Models of polyhedra) מכיל הן פוליהדרות והן צורות הכוכבים שלהן. מוצקים אפלטוניים הם 5 פוליהדרות רגילות קמורות. יש להם אותו סוג של פנים (משולשים רגילים, ריבועים ומחומשים) וכל הזוויות הפוליהדרליות זהות. ארכימדס הוסיף עוד 13 פולידרות קמורות למחצה רגילות (הפנים הם מצולעים שונים, אבל כל הזוויות עדיין זהות). אבל אם ניקח לא מצולעים קמורים (הספר משתמש במשולשים, ריבועים, מחומשים, מתומנים ועשרונים), אלא צורות הכוכבים שלהם (כוכבים מחומשים, מתומנים ועשרונים), אז נקבל הרבה פולי-הדרות חדשות. בנוסף, ניתן לחבר את הפרצופים גם בצורת כוכבים, כך שפולי-הדרות לא קמורות יכולות להיות מורכבות גם ממצולעי כוכבים וגם ממצולעים קמורים.

לבסוף, כשם שהמשך הקווים הופך מצולע קמור למצולע בצורת כוכב, כך המשך הקצוות יוצר צורות בצורת כוכב. נכון, ידועות רק 4 פולי-הדרות רגילות מסוג זה (כל שלוש צורות הכוכבים של הדודקהדרון וצורת כוכבים אחת של האיקוסהדרון), או שלאחרות יש פרצופים שהם מצולעים לא סדירים, או שהפוליהדרון מתפרק לכמה רב-הדרונים נפרדים.

יופי מיוחד מסופק על ידי צורות שבהן הקצוות נראים משני הצדדים, כמו גם אלה המכילות חורים, בתוספת אלה שחלקיהם נוגעים זה בזה רק בקודקודיהם.

כמובן שלפוליהדרות יש מתמטיקה משלהם, אבל עוד על זה בהמשך.

התמונות מלוות בדגמים של זוויות פוליהדרליות. זהו בסיס הפירמידה, שיתקבל אם חתיכה מהחלק העליון של הפולידרון, כמו מעוגה. 3, 4, 5, 6, 8 ו-10 מציינים מצולעים קמורים, 5/2, 8/3 ו-10/3 - כוכב מחומש, מתומן ועשר גונלי (רצף הקודקודים עושה 2, 3 ו-3 סיבובים סביב המרכז, בהתאמה ).

ללכת. קודם המשולשים. (בסוגריים מספרי דגם מהספר).

משפחה אינסופית של פריזמות.

מנסרה משולשת.

מנסרה מרובעת, משושה, קובייה (3).

פריזמה מחומשת וצורת הכוכב שלה.

פריזמה משושה.

טטרהדרון (1).

דודקהדרון (5) ושלוש צורותיו הכוכביות, שהן פולי-הדרות רגילות: דודקהדרון כוכבים קטן (20), דודכדרון גדול (21) ודודקהדרון כוכבים גדול (22):

טטרהדרון קטום (6).

אוקטהדרון קטום (7).

משושה קטומה (קוביה) (8).

איקוסהדרון קטום (9). כך נהגו לתפור כדורי כדורגל.

דודקהדרון קטום (10).

קובוקטהדרון קטום מעוין (15).

איקוסידודקהדרון מעוין קטום (16).

משושה קצוץ כמעט (92).

קובוקטהדרון מעין קטוע (93).

איקוסידודקהדרון גדול כמעט קטום (זה היה. אבוי, הוא היה שביר מבפנים ויום אחד נשבר). (108)

בואו נעבור לפוליהדרה עם 4 פרצופים שנפגשים בפינה.

ראשית, דמות הקודקוד היא בצורת ריבוע.

משפחה אינסופית של אנטי פריזמות.

אנטי פריזמה משולשת, אוקטהדרון (2), וצורתה הכוכבית - אוקטהדרון כוכבי (19).

אנטי פריזמה מרובעת ושתי צורות הכוכבים שלה.

קובוקטהדרון (11) וצורות הכוכבים שלו (43 - 46).

האיקוסידודקהדרון (12) והכוכבים שלו (47, 63, 64), ויש הרבה מהם בספר.

רומביקובקטהדרון (13) וצורתו הכוכבית.

אבל הפוליהדרון הזה (פסאודו-רומבוקובוקטאדרון) גרם להרבה רעש, כי... הוא פורסם רק 2000 שנה אחרי ארכימדס (בתחילת שנות ה-50-60 של המאה ה-20). למעשה, יש לו פגם: כשאמרתי שלפול-הידרות סדירות למחצה יש את אותן זוויות (מודל קודקוד), אתה יכול לשים לב שסדר חציית הפנים של קודקודים שכנים תמיד משתקף, למשל, אם לקודקוד אחד יש פנים בקודקוד. סדר של 3-4-4-4 עם כיוון השעון, ואז לקודקוד השכן יש את אותו סדר, אבל נגד כיוון השעון. אז, ל-pseudorhombocubooctahedron יש זוגות של קודקודים שאין להם סימטרית מראה.

Rhombicosidodecahedron (14).

icosoicosidodecahedron קטן (71).

דודקודודודקהדרון (73).

רומבודודקהדרון (76).

האיקוסידודקהדרון הגדול (94).

גדול dodecoicosidodecahedron (99).

עכשיו פוליהדרות, שגם להן 4 פרצופים הנפגשים בקודקוד אחד, אבל הסדר צולב:

Tetrahemihexahedron (67).

אוקטהמיאוקטהדרון (68).

קובוקובוקטהדרון קטן (69).

3.1 "לידתו" של הפיזיקאי הגדול D.C. Maxwell

פעם ילד אנגלי רגיל, ג'יימס, שנסחף על ידי יצירת דגמים של פולי-הדרות, כתב במכתב לאביו: "... יצרתי טטרהדרון, דודקהדרון ועוד שני קדרות, שאינני יודע את השם הנכון עבורם." מילים אלו סימנו את הולדתו של הפיזיקאי הגדול ג'יימס קלארק מקסוול בילד חסר ייחוד. (נספח 3).אני חושב שגם אתה וגם המשפחה שלך תהיו מוקסמים מיצירת דגמים של גופים גיאומטריים.

בנוסף לקישוטי עץ חג המולד המסורתיים (קרקרים ופנסים), אתה יכול לעשות צעצועים גיאומטריים. אלו הם דגמים של פוליהדרות רגילות העשויות מנייר צבעוני. אחרי הכל, הצורה שלהם היא דוגמה לשלמות! השלמות של צורות ודפוסים מתמטיים יפים הטמונים בפוליהדרות רגילות היו הסיבה שיוחסו להן תכונות מאגיות שונות, וכל חמשת הגופים הגיאומטריים היו זה מכבר בני לוויה חובה של קוסמים ואסטרולוגים. ואם תעבדו קשה בלימוד ובהכנתם, אז הם בוודאי יביאו שמחה והנאה, ואולי יביאו מזל טוב.

3.2 התפתחויות של פוליהדרות רגילות

אחת הדרכים לייצר פוליהדרות רגילות היא השיטה באמצעות מה שנקרא פיתוחים.

אם הדגם של פני השטח של פוליהדרון עשוי מחומר גמיש שאינו ניתן להרחבה (נייר, קרטון דק וכו'), אז ניתן לחתוך את הדגם הזה לאורך מספר קצוות ולהרחיב אותו כך שיהפוך לדגם של מצולע מסוים. מצולע זה נקרא התפתחות פני השטח של הפולידרון. כדי להשיג דגם של פולידרון, נוח לבצע תחילה פיתוח של פני השטח שלו. הכלים הדרושים הם דבק ומספריים. ניתן ליצור דגמים של פוליהדרה באמצעות דפוס שטוח אחד שעליו ימוקמו כל הפנים. עם זאת, במקרה זה, כל הקצוות יהיו באותו צבע.

3.3 שיטת "אריגה".

בנוסף להכנת פולי-הדרות באמצעות רימרים, ישנה דרך נוספת שבה הם נארגים מכמה רצועות נייר. ללא שימוש בדבק, הדגם מקבל מבנה קשיח לאחר הכנסת פיסת הנייר האחרונה.

כדי לארוג טטרהדרון, אתה צריך:

אריגת קובייה:

אם הפסים הם בצבעים שונים, אז לקובייה המתקבלת יש פנים מנוגדים מאותו צבע. שיטה זו מעניינת מכיוון שכל שתי רצועות אינן שלובות זו בזו, אלא שלושתן שלובות זו בזו.

אולי, כשיראה דגמים של פוליהדרות, מישהו ישאל: "מה התועלת בהם?" אתה יכול לענות על זה כך: "האם הכל יפה מועיל?"

3.4 דרך נוספת ליצור פוליהדרה

כדי ליצור מודלים של פוליהדרות, אתה יכול להשתמש בהמלצות שניתנו בספרו של מ' וויניגר "מודלים של פוליהדרות". "מחבר הספר הזה, מדביק את הקורא בהתלהבות שלו, נותן לו הנחיות ברורות ומדויקות כיצד ליצור דגמים של פוליהדרות שונות. ההסברים מאוירים בתצלומים של דוגמניות מאוסף המחבר - אולי השלם ביותר כיום. אבל צילומים אינם מסוגלים להעביר את כל פאר הדוגמניות עצמן. הדגמים המורכבים ביותר עם "חוטם עקום" הם לא רק קשים מאוד לייצור, אלא גם דקורטיביים מאוד. האין זו דוגמה מצוינת ליחס בין אמת ליופי!" – הערות בהקדמה לספר ג.ש.מ. קוקסטר.

מ' ויניגר מציין: "הזמן שהשקעתי בהכנת מודלים של פוליהדרות הומוגניות לא קמורות היה תלוי במידה ניכרת באופי הדגם. לפיכך, הפשוטה שבהן דרשה לא יותר משלוש עד ארבע שעות, אבל בממוצע זה לקח שמונים שעות, וכמה דגמים מורכבים ארכו עשרים עד שלושים שעות. שני הדגמים לקחו לי יותר ממאה שעות כל אחד. כעת, כשהעבודה הושלמה, כנראה אסכים שגם הנפח שלה הדהים אותי. אבל פתגם סיני אומר: "אם אתה הולך ללכת אלף קילומטרים, התחל בכך שתעשה את הצעד הראשון." אחרי הצעד הראשון יבוא עוד צעד, ובקרוב יופי הנופים הנפתחים למבטו של הנוסע ישכיח ממנו את קשיי השביל”.

לפני שתתחיל ליצור פוליהדרה בשיטה המתוארת להלן, עליך להכיר את ההמלצות הכלליות. (נספח 4).

3.4.1 טטרהדרון

כל ארבעת הפנים של הטטרהדרון הם משולשים שווי צלעות. ארבע הוא המספר הקטן ביותר של פרצופים המפרידים בין חלק מהמרחב התלת מימדי. עם זאת, לטטרהדרון יש תכונות רבות האופייניות לפוליהדרות הומוגניות. כל פניו הם מצולעים רגילים, וכל אחד מהם מופרד בקצה מפנים אחד בדיוק. גם כל הזוויות הפוליהדרליות של טטרהדרון שוות זו לזו. אם אתה צריך לעשות מודל טטרהדרון רב צבעוני, אתה צריך להכין רשתות עבור כל סוג של פנים בצורה של מצולע נפרד. כדי לעשות זאת, תצטרך רק סטנסיל אחד בצורה של משולש שווה צלעות.

יש צורך לעשות ארבעה ריקים של צבעים שונים - למשל, F, C, O ו-K. במקרה זה, אתה צריך להשאיר מדבקות בכל צד, כפי שמוצג באיור. עכשיו אנחנו מדביקים את כל ארבעת החסר יחד, ואז אנחנו מחברים את הקצוות הצדדיים הלא מודבקים ומדביקים תחילה רק שניים מהם יחד. לאחר מכן אנו מורחים דבק על המדבקות הנותרות ומדביקים את הקצה האחרון, כאילו סוגרים את הקופסה.

אוקטהדרון

מכיוון שהפנים ההפוכות שלו של האוקטהדרון נמצאים במישורים מקבילים, אתה יכול להסתדר בצורה מושלמת עם ארבעה צבעים בלבד. אנו מתחילים ליצור דגם של הפולידרון הזה על ידי הדבקת ארבעה משולשים. לאחר שנדביק פרצופים 1 ו-4 יחד, תהיה לנו בידיים פירמידה מרובעת רגילה ללא בסיס מרובע. חלק זה מהווה בדיוק חצי מהדגם.

החצי השני הוא אננטיומורפי לראשון. עם זאת, קל יותר להמשיך בסדר הזה: ראשית, הדביקו את המדבקות של ארבעת המשולשים הנותרים למדבקות המתאימות בצידי הבסיס הריבועי. יש צורך להבטיח כי הפנים המנוגדות של האוקטהדרון יש את אותו צבע. לאחר מכן הדביקו ברצף את המדבקות של פרצופים סמוכים, ושוב מכסים את הדגם במשולש האחרון, כמו מכסה. כעת ניתן לראות שהריבוע שזה עתה היווה את הבסיס למחצית הראשונה של הדגם הוא למעשה רק אחד מתוך שלושה ריבועים מסוג זה שניתן לראות בדגם המלא. במקרה זה, הקצוות של הריבועים נמצאים בשלושה מישורים מאונכים זה לזה.

3.4.3 משושה (קוביה)

בְּלִי סָפֵק קוּבִּיָה,או, כפי שמתמטיקאים קוראים לזה לפעמים, משושה- הפוליהדרון הידוע והנפוץ ביותר. כל ששת הפנים שלו הם ריבועים, נפגשים שניים לאורך כל קצה ושלושה בכל קודקוד. אתה יכול להתחיל לבנות דגם קובייה על ידי בחירת ריבוע אחד וחיבור אליו ארבעה אחרים, כפי שמוצג באיור. אז אתה צריך להדביק את המדבקות של פני הצד הסמוכים, והמדבקות המודבקות בזוגות שוב יוצרות מעין שלד נוקשה של הפוליהדרון. נותר להוסיף את הקצה האחרון, ובצדק ניתן להשוות את הפעולה הזו לסגירת קופסה עם מכסה.

ייתכן שבפשטותה הקובייה אינה הפולידרון האטרקטיבי ביותר. אבל יש לו כמה תכונות מפתיעות ביחס למוצקים אפלטוניים אחרים וכמה ארכימדיים. ואת האיחוד של חמש קוביות אפשר לשים בדודקהדרון, וזה מייצר דגם מאוד יפה.

איקוזהדרון

איקוזהדרון- אחד מחמשת המוצקים האפלטוניים, הבא בפשטות לטטרהדרון והאוקטהדרון. הם מאוחדים על ידי העובדה שהפנים של כל אחד מהם הם משולשים שווי צלעות. בעת ביצוע דגם של האיקוסהדרון, אתה יכול לבחור כל אחת משתי אפשרויות מרהיבות להפצה של חמישה צבעים. ראשית, ניתן לצבוע את האיקוסהדרון כך שלכל קודקוד יש את כל חמשת הצבעים (אם כי במקרה זה הפרצופים הנגדיים לא יהיו בצבע זהה). שיטה אחרת מבטיחה שלפנים מנוגדים יהיו אותם צבעים, אך בכל קודקוד, למעט שני הקוטביים, צבע אחד יחזור על עצמו במעגל. שני דפי הצביעה מעניינים מאוד. ניתן לבנות את שני הדגמים מאותו סידור ראשוני של חמישה משולשים שווי צלעות. הם יוצרים פירמידה מחומשת נמוכה ללא בסיס. יש להדביק את חמשת המשולשים הבאים לצידי הבסיס שלו, מונחים על ידי שולחן צביעה כזה או אחר. משולש אחד מודבק ביניהם - זה לא קשה לעשות אם אתה שם לב לעובדה שחמישה פרצופים נפגשים בכל קודקוד. להשלמת הדגם הדביקו את חמשת המשולשים האחרונים. כדי להקל על השימוש בטבלאות צביעה, עליך לזכור: השורה הראשונה של כל טבלה מציינת את הצבע של חמשת המשולשים המקיפים את קודקוד הקוטב הצפוני של האיקוסהדרון. שני הקווים הבאים מציינים את צביעת הטבעת "המשוונית" של עשרה משולשים שווי צלעות מתחלפים. לבסוף, השורה הרביעית מציגה את צביעת הפנים y, ה"קוטב הדרומי" של האיקוסהדרון.

סדר הצביעה מעניין לא רק ליד ה"קטבים", אלא גם בעשרת הקודקודים האחרים קל למצוא אותו מהטבלאות הללו. צריך לעשות הליכה מעגלית סביב השולחן לפי הכלל הבא: החל משני צבעים סמוכים בשורה החיצונית ביותר, רדו למטה (או למעלה) לשורה הבאה, לאחר מכן לעוד אחד ואז חזרו למקוריים. לדוגמה:

זה מצביע על כך שניתן לציין טבלאות צביעה בצורה שונה לחלוטין - על ידי מספור הקודקודים וכתיבת סדר הצבעים המתחלפים עבור כל אחד מהם. נכון, זה יוביל לעובדה שכל פנים משולשים של האיקוסהדרון ייקרא שלוש פעמים בטבלה כזו, אבל עדיין הטבלאות נוחות: בעזרתן קל יותר "להדביק" קודקוד ברצף. עבור איקוסהדרון, טבלאות מסוג זה נראות כך:

כאן מצוינים הצבעים של שישה קודקודים בלבד, וקודקוד (0) הוא שוב "הקוטב הצפוני" של האיקוסהדרון. עבור שני הדגמים, לקודקודים שממול אלה יש צביעה אננטיומורפית. ניתן לקבל אותו על ידי קריאת השורה המתאימה בסדר הפוך, כלומר מימין לשמאל.

דודקהדרון

במובן מסוים דודקהדרוןמייצג את האטרקטיביות הגדולה ביותר בקרב המוצקים האפלטוניים, המתחרים עם האיקוסהדרון, שהוא כמעט טוב כמוהו (ואולי עדיף במובנים מסוימים). אולי הדודקהדרון מקבל את כף היד על שלוש צורות הכוכבים שלו, המתוארות להלן.

הדגם של הפוליהדרון הזה יכול להתבצע בארבעה צבעים בשתי דרכים; אם אתה משתמש בשישה צבעים לצביעה, ניתן בקלות להפוך את הקצוות המנוגדים לצבע אחד. ניתן להעביר צביעה זו בקלות לצורות הכוכביות שהוזכרו לעיל של הדודקהדרון. הנה תיאור.

בניית הדגם מתחילה בהדבקת חמישה מחומשים בצבעים שונים - נניח, F, C, O, K, 3 - למחומש מרכזי אחד, למשל לבן (B). לאחר מכן, כדאי להדביק את המחומשים הצבעוניים זה לזה - ומחצית העבודה מסתיימת. כל מה שנותר הוא להדביק את שאר הפנים של הדודקהדרון לחצי שכבר נעשה כך שהפנים הנגדיות יהיו באותו צבע.

האיור מציג צביעה בארבעה צבעים של הדודקהדרון. אתה יכול גם להשתמש בסדר האנטיומורפי של צבעים. לפעמים נוח יותר להשתמש רק בצביעה הזו - במיוחד עבור דגמים עם סימטריה דודקהדרונית.

סיכום

אנו קוראים לפוליהדרות רגילות עולם היופי וההרמוניה. ואכן, לאורך ההיסטוריה של האנושות, הפוליהדרות הללו זכו להערצה על הסימטריה ושלמות הצורה שלהן. תמונות של חמש פולי-הדרות רגילות - "מוצקים אפלטוניים", 13 פולי-הדרות קמורות למחצה סדירות - "סולידי ארכימדס" ו-4 פולי-הדרות לא קמורות - "מוצקי פוינסו-קפלר" מובילות מוחות סקרנים לחשוב על היופי שבאמת.

לסכם את תוצאות עבודתי, אני יכול להסיק: ישנן 5 פולי-הדרות קמורות רגילות: טטרהדרון (טטרהדרון), משושה (הקסהדרון), אוקטהדרון (אוקטהדרון), דודקהדרון (דודקהדרון), איקוסהדרון (עשרים-הדרון) - מוצקים אפלטוניים, 4 כוכבי רב רגילים - מוצקים קפלר - פוינסו, 13 פולי-הדרה רגילה למחצה - מוצקים של ארכימדס. העבודה מתארת ​​את תכונותיהם, מספקת דפוסים לייצורם ומראה היכן הם נמצאים בטבע.

תוך כדי עבודתי, למדתי ללמוד ספרות על הנושא הנקוב, לנתח את מה שקראתי, לבחור את החומר המתאים, לחפש תשובות לשאלות שעולות ולהסיק מסקנות.

תוך כדי העבודה על החיבור "בעולם הפוליהדרה הרגילה", נגעתי בעולם המדהים של יופי, שלמות, הרמוניה, למדתי שמות של מדענים ואמנים שהקדישו את יצירותיהם לעולם הזה, שהם יצירות מופת של מדע ואמנות. שוב השתכנעתי שמקורות המתמטיקה הם בטבע המקיף אותנו.

במהלך מחקר זה נותחו ההגדרות של פולי-הדרות רגילות, נקבעו התנאים לקיומן של פולי-הדרות רגילות, זוהו תכונותיהן של פולי-הדרות רגילות ותוארה הטכנולוגיה לבנייתן.

סִפְרוּת

1. אלכסנדרוב א.ד. , ורנר א.ל. , Ryzhin V.I. תחילתה של סטריאומטריה. – מ.: חינוך, 1981.

2. Atanasyan L. S., Butuzov V. F. וגיאומטריה. ספר לימוד לכיתות י' - יא' של בית הספר התיכון. – מ.: חינוך, 2001.

3. Bevz G. P., Bevz V. G., Vladimirova N. G. Geometry. ספר לימוד לכיתות ז' – יא' של בית הספר התיכון. – מ.: חינוך, 1992.

4. Wenninger M. Models of polyhedra. – מ.: מיר, 1974.

5. ויגודסקי מ. יא מדריך למתמטיקה יסודית. – מ.: נאוקה, 1972.

6. גלזר ג.י. תולדות המתמטיקה בבית הספר. ציונים IX-X. מדריך למורים. – מ.: חינוך, 1983.

7. Klopsky V.M., Skopets Z.A., Yagodovsky M.I. גיאומטריה כיתה ט' – י'. – מ.: חינוך, 1983.

8. Pogorelov A.V. Geometry. ספר לימוד לכיתות ז'-יא' של בית הספר התיכון. – מ': חינוך, 1990.

9. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. אני חוקר את העולם: אנציקלופדיה לילדים: מתמטיקה. – מ.: AST, 1999.

10. Smirnova I. M., Smirnov V. A. Geometry. ספר לימוד לכיתות י' – יא' של מוסדות החינוך הכללי. – M.: Mnemosyne, 2003.

11. Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. כיתות ה' – ו': מדריך למוסדות חינוך כלליים. – M.: Bustard, 1999.

12. מתמטיקה. עיתון חינוכי ומתודולוגי שבועי. מס' 24, 2004. עמ'. 15-32.

נספח 1

אפלטון (428 או 427 לפנה"ס - 348 או 347), פילוסוף יווני עתיק. תלמידו של סוקרטס, בערך. 387 ייסד בית ספר באתונה. רעיונות (הגבוה ביניהם הוא רעיון הטוב) הם אבות-טיפוס מובנים נצחיים ובלתי משתנה של דברים, של כל קיום חולף ומשתנה; דברים הם דמיון והשתקפות של רעיונות. ידע הוא אנמנזה - זיכרון של הנשמה ברעיונות שהיא הרתה לפני איחודה עם הגוף. אהבה לרעיון (ארוס) היא הסיבה המניעה לעלייה רוחנית. המדינה האידיאלית היא היררכיה של שלושה מעמדות: שליטים-חכמים, לוחמים ופקידים, איכרים ובעלי מלאכה. אפלטון פיתח בצורה אינטנסיבית את הדיאלקטיקה והתווה את תכנית השלבים העיקריים של פיתוח הניאופלטוניזם. בהיסטוריה של הפילוסופיה השתנתה תפיסתו של אפלטון: "מורה אלוהי" (עתיקות); מבשר תפיסת העולם הנוצרית (ימי הביניים); פילוסוף של אהבה אידיאלית ואוטופי פוליטי (רנסנס). יצירותיו של אפלטון הן דיאלוגים אמנותיים ביותר; החשובים שבהם: "התנצלות של סוקרטס", "פאידו", "סימפוזיון", "פדרוס" (תורת הרעיונות), "מדינה", "תאטטוס" (תורת הידע), "פרמנידס" ו"סופיסט". (דיאלקטיקה של קטגוריות), "טימאוס" (פילוסופיה טבעית).

אפלטון (427-347 או 348 לפנה"ס),ההוגה היווני הקדום, יחד עם פיתגורס, פרמנידס וסוקרטס, הוא מייסד הפילוסופיה האירופית; ראש האקדמיה של בית הספר הפילוסופי.

חַיִים

הוא בא ממשפחת אצולה שלקחה חלק פעיל בחיים הפוליטיים של אתונה (משפחתו של אביו אריסטון, על פי האגדה, חזרה למלך המיתולוגי קודרוס; בין אבותיה של אמו, פריקטיון, היה המחוקק סולון לאחר ניצחון הספרטנים במלחמת הפלופונס, דודו של אפלטון, צ'רמידס, היה אחד מעשרת בני החסות של ליסנדר בפיראוס בשנים 404-403, קריטיאס - אחד משלושים הרודנים באתונה).

הוא קיבל את החינוך הטוב המסורתי (פיזי ומוזיקלי) עבור נוער אצולה. בצעירותו הקשיב לסופיסט ההרקליטי קראטילוס, בגיל 20 פגש את סוקרטס, החל להשתתף בקביעות בשיחותיו ונטש קריירה פוליטית של ממש. הוא היה מובחן על ידי ביישנות קיצונית והסתייגות.

אפלטון. מתוך "התנצלות של סוקרטס"

לאחר מותו של סוקרטס (399), אפלטון עוזב למגארה. לוקח חלק במלחמת קורינתוס, במסעות לטנגרה (395) וקורינתוס (394). בשנת 387 הוא ביקר בדרום איטליה, לוקריאנים של אפיסתר - מקום הולדתם של חוקי זלאוקוס המתועדים העתיקים ביותר (טימאוס הפיתגוראי, ששמו נקרא על שם הדיאלוג המפורסם של אפלטון, מגיע מלוקריאנים; המסע נוצר בדרך כלל בעיקר למען המפגש הפיתגוראים). בסיציליה (סירקיוז) הוא פוגש את דיון, מקורבו של שליט סירקיוז, דיוניסיוס הראשון. עם שובו מסיציליה (387), ייסד את בית הספר הפילוסופי שלו באתונה - בגימנסיה של האקדמיה. ההיכרות עם דיון, שנפל בקסם אישיותו ודרך החשיבה של אפלטון, תרמה לכך שבשנים 367-366 ו-361 ערך אפלטון שני מסעות נוספים לסיציליה.

בית הספר של אפלטון

השימוש בגימנסיה ציבורית ללימודי מדעים ונאום היה נפוץ באתונה במאות ה-5-4; "בית הספר של אפלטון" נוצר כנראה בהדרגה על שם הגימנסיה, הוא התחיל להיקרא גם האקדמיה. בין אלה שהשתייכו לחוגו של אפלטון היו אחיינו ספיפוס, שהפך לראש האקדמיה לאחר מותו של אפלטון, קסנוקרטס, המלומד השלישי של האקדמיה, והמתמטיקאי והאסטרונום המפורסם אודוקסוס מקנידוס, שנותר בראש בית הספר. במהלך מסעו השני של אפלטון לסיציליה. בשנת 366 הופיע אריסטו באקדמיה ונשאר שם עד מותו של אפלטון.

מאמרים

מהדורה של יצירותיו של אפלטון הגיעה אלינו, שבוצעה על ידי הפיתגורס תרסילוס מאלכסנדריה, אסטרולוג החצר של הקיסר טיבריוס (נפטר 37), מחולקת לטטרלוגיות:

"Euthyphro", "Apology", "Crito", "Phaedo".

"קראטילוס", "תיאטטוס", "סופיסט", "פוליטיקאי".

פרמנידס, פילבוס, סימפוזיון, פידרוס.

"אלקיביאדס הראשון", "אלקיביאדס השני", "היפרכוס", "יריבים".

"תיאג", "כרמידס", "לאש", "ליסיס".

"אותידמוס", "פרוטגוראס", "גורגיאס", "מנו".

"היפיאס הגדול", "היפיאס הקטן", "יון", "מנקסנוס".

"קליטופון", "רפובליקה", "טימאוס", "קריטיאס".

"מינוס", "חוקים", "אחרי חוק", "מכתבים".

בנוסף, שרדו מספר דיאלוגים נוספים בשם אפלטון.

החל מסוף המאה ה-17, קורפוס הטקסטים של אפלטון היה נתון לבחינה ביקורתית מדוקדקת מנקודת המבט של האותנטיות והכרונולוגיה שלהם.

מידע קשור.

דודקהדרון הוא פוליידרון רגיל המורכב משנים עשר מחומשים רגילים. לדמות תלת מימדית מרהיבה זו יש מרכז סימטריה הנקרא מרכז הדודקהדרון. בנוסף, הוא מכיל חמישה עשר מישורי סימטריה (בכל פנים, כל אחד מהם עובר באמצע הקצה הנגדי והקודקוד) וחמישה עשר צירי סימטריה (מצטלבים את נקודות האמצע של קצוות מנוגדים מקבילים). כל אחד מהקודקודים של הדודקהדרון הוא קודקודם של שלושה מחומשים בעלי צורה קבועה.

העיצוב קיבל את שמו ממספר הפנים הכלולים בו (באופן מסורתי, היוונים הקדמונים נתנו לפוליהדרונים שמות המשקפים את מספר הפנים המרכיבות את מבנה הדמות). לפיכך, המושג "דודקהדרון" נוצר ממשמעויות של שתי מילים: "דודקה" (שתים עשרה) ו"הדרה" (פנים). הדמות שייכת לאחד מחמשת המוצקים האפלטוניים (יחד עם טטרהדרון, אוקטהדרון, משושה (קוביה) ו). מעניין לציין כי על פי מסמכים היסטוריים רבים, כולם שימשו באופן פעיל על ידי תושבי יוון העתיקה בצורה של קוביות שולחן ונעשו ממגוון רחב של חומרים.

פוליהדרות רגילות תמיד משכו אנשים עם היופי, הטבע האורגני והשלמות יוצאת הדופן של צורות, אבל לדודקהדרון יש היסטוריה מיוחדת, שמשנה לשנה רוכשת עובדות חדשות, לפעמים מיסטיות לחלוטין. נציגי תרבויות רבות ראו בו מהות על טבעית ומסתורית, וטענו כי: "דברים רבים צומחים מהמספר שתים עשרה". בשטחים של מדינות עתיקות שנהרסו, עדיין נמצאים פסלונים קטנים בצורת דודקהדרונים עשויים ברונזה, אבן או עצם. בנוסף, במהלך חפירות בארצות אנגליה, צרפת, גרמניה, הונגריה ואיטליה, גילו ארכיאולוגים כמה מאות מה שנקרא "דודקהדרונים רומאים" המתוארכים למאות ה-2-3 לספירה. הממדים העיקריים של הדמויות נעים בין ארבעה לאחד עשר סנטימטרים, והם נבדלים על ידי הדפוסים, המרקמים וטכניקות הביצוע המדהימים ביותר. הגרסה שהועלתה עוד בתקופת אפלטון לפיה היקום הוא דודקהדרון ענק אושרה בתחילת המאה ה-21. לאחר ניתוח יסודי של הנתונים שהושגו באמצעות WMAP (החללית הרב-תכליתית של נאס"א), הסכימו המדענים עם ההנחה של אסטרונומים, מתמטיקאים ופיזיקאים יוונים עתיקים, שעסקו בעת ובעונה אחת בחקר הכדור השמימי ומבנהו. יתרה מכך, חוקרים מודרניים מאמינים שהיקום שלנו הוא קבוצה שחוזרת על עצמה ללא סוף של דודקהדרונים.

איך להכין דודקהדרון רגיל במו ידיך

כיום, העיצוב של דמות זו בא לידי ביטוי בצורות רבות של יצירתיות אמנותית, אדריכלות ובנייה. אומנים עממיים מייצרים אוריגמי יפה בצורה יוצאת דופן בצורה של דודקהדרונים פתוחים מנייר צבעוני או לבן, והם יוצרים מקוריים מקרטון וכו'). במכירה אתה יכול לרכוש ערכות מוכנות המכילות את כל מה שאתה צריך להכנת מזכרות, אבל הדבר המעניין ביותר הוא לעשות את כל תהליך העבודה במו ידיך, מבניית חלקים בודדים ועד להרכבת המבנה המוגמר.

חומרים:

על מנת ליצור דודקהדרון רגיל מקרטון, אתה צריך את החומר עצמו וכלים זמינים:

• מספריים,
• עִפָּרוֹן,
• מַחַק,
• סרגל,
• דֶבֶק.

זה טוב שיש סכין משעממת או מכשיר כלשהו לכיפוף קצבאות תפר, אבל אם אין לך אותם, אז סרגל מתכת או אותו מספריים יצליחו בסדר גמור.

איך לעשות דודקהדרון כוכבים

לדודקהדרונים בעלי מבנה מורכב יותר בהשוואה לאלה הרגילים. הפוליהדרות הללו מחולקות לקטנה (של הרחבה הראשונה), בינונית (של הרחבה השנייה) וגדולה (צורת הכוכבים האחרונה של הדודקהדרון הרגיל). לכל אחד מהם תכונות עיצוב משלו והרכבה. כדי לעבוד, תזדקק לאותם חומרים וכלים כמו להכנת דודקהדרון סטנדרטי. אם תחליט לעשות את האפשרות הראשונה (דודקהדרון קטן), עליך לבנות ציור של האלמנט הראשון, שיהפוך לבסיס לכל המבנה (מאוחר יותר הוא יודבק או ירכיבו חלקים באמצעות מהדקי נייר).

כדי ליצור צורות גיאומטריות תלת מימדיות, העיקר שיהיו תבניות שניתן לגזור ואז להדביק אותן.

ניתן להכין מנייר לבן או צבעוני. אתה יכול לגזור אותו מנייר עם כל עיצוב או מספר.

אני מציע ליצור דמות תלת מימדית יוצאת דופן בטכניקת האוריגמי. צפו בסרטון:

כדי שילדים יוכלו לזכור טוב יותר אילו צורות גיאומטריות יש ולדעת איך קוראים להן, אפשר להכין אותן מנייר עבה או מקרטון צורות גיאומטריות נפחיות. דרך אגב, אפשר להכין מהם אריזות מתנה יפהפיות.

אתה תצטרך:

• נייר עבה או קרטון (רצוי צבעוני);
• סרגל;
• עִפָּרוֹן;
• מספריים;
• דבק (רצוי PVA).

הדבר הקשה ביותר הוא לפתח ולצייר פריסות אתה צריך לפחות ידע בסיסי בציור. ניתן לקחת עיצובים מוכנים ולהדפיס אותם במדפסת.

כדי לשמור על קו הקיפול ישר וחד, אפשר להשתמש במחט קהה ובסרגל מתכת. בעת ציור קו, המחט חייב להיות כפוף חזק לכיוון התנועה, כמעט להניח אותה על הצד.

זהו פיתוח של פירמידה תלת-תדרלית

זוהי סריקת קוביות



זהו התפתחות של אוקטהדרון (פירמידה טטרהדרלית)



זהו הפיתוח של דודקהדרון



זהו הפיתוח של איקוסהדרון



כאן תוכלו למצוא תבניות לדמויות מורכבות יותר (מוצקים אפלטוניים, מוצקים ארכימדיים, פוליהדרות, פוליהדרות, סוגים שונים של פירמידות ומנסרות, דגמי נייר פשוטים ואלכסוניים).

צורות גיאומטריות נפחיותהם הדרך הטובה ביותר עבור ילד לחקור את העולם סביבו. חומר חינוכי מעולה/עזר הוראה מצוין ללימוד צורות גיאומטריות הוא בדיוק צורות תלת מימדיות. כך, צורות גיאומטריות זכורות טוב יותר.

החומר הטוב ביותר להכנת דמויות תלת מימדיות כאלה הוא נייר עבה (ניתן לצבוע) או קרטון.

לייצור, בנוסף לנייר, תצטרך גם עיפרון עם סרגל, כמו גם מספריים ודבק (חתוך והדבק את הפיתוחים).

אתה צריך לצייר את הסריקות בצורה דומה ולחתוך אותן:







לאחר מכן הם צריכים להיות מודבקים מקצה לקצה.

אתה צריך לקבל את הסוג הבא של צורות גיאומטריות נפחיות:













להלן מספר סכמות שבאמצעותן תוכל ליצור צורות גיאומטריות תלת מימדיות.

הפשוט ביותר הוא אַרְבָּעוֹן.



זה יהיה קצת יותר קשה להכנה אוקטהדרון.



אבל הדמות התלת מימדית הזו - דודקהדרון.



עוד אחד - איקוסהדרון.



פרטים נוספים על הכנת דמויות תלת מימדיות ניתן למצוא כאן.

כך נראות דמויות תלת מימדיות לא מורכבות:



וכך נראים הגמורים:



אתה יכול לעשות מלאכות מקוריות רבות מצורות גיאומטריות תלת מימדיות, כולל אריזת מתנה.



לפני שתתחיל ליצור צורות גיאומטריות תלת מימדיות, עליך לדמיין (או לדעת איך היא נראית) את הדמות במימד תלת מימד: כמה פרצופים יש לדמות זו או אחרת.

ראשית עליך לצייר כראוי דמות על נייר לאורך הקצוות שחייבים להיות מחוברים זה לזה. לכל צורה יש קצוות בעלי צורה מסוימת: ריבוע, משולש, מלבן, מעוין, משושה, עיגול וכו'.

חשוב מאוד שאורך הקצוות של הדמות שיחברו זה לזה יהיו באותו אורך, כדי שלא יתעוררו בעיות במהלך החיבור. אם הדמות מורכבת מפרצופים זהים, הייתי מציע ליצור תבנית תוך כדי ציור ושימוש בתבנית זו. ניתן גם להוריד תבניות מוכנות מהאינטרנט, להדפיס אותן, לכופף אותן לאורך הקווים ולחבר (להדביק) אותן יחד.

דפוס חרוט:



תבנית פירמידה:



תצטרך ליצור צורות גיאומטריות תלת מימדיות הן בכיתות בית הספר והן ללימוד צורות עם ילדים. תהליך זה יכול להפוך למשחק על ידי יצירת צורות גיאומטריות תלת מימדיות צפופות מקרטון.

כדי ליצור את הדמויות נצטרך עיפרון, סרגל, קרטון צבעוני, דבק.



אתה יכול להדפיס דיאגרמות מהאינטרנט, ואז ליישם אותם על נייר עבה, בלי לשכוח את קווי הקיפול שיודבקו זה לזה.

אתה יכול להשתמש בסכימות הבאות:













אבל הם כבר בצורת מוגמרת.



כך תוכלו לבלות זמן עם תינוקכם בכיף ובלימוד שימושי של צורות גיאומטריות.

על ידי יצירת דמויות תלת מימדיות מנייר בעצמך, אתה לא יכול להשתמש בהן רק לבידור, אלא גם ללמידה.

לדוגמה, אתה יכול להראות בבירור לילד שלך איך נראית דמות מסוימת ולתת לו להחזיק אותה בידיו.

או שאתה יכול להדפיס דיאגרמות עם סמלים מיוחדים למטרות הדרכה.

אז אני מציע לך להכיר את הנושא הזה למטה דודקהדרון, גם פשוט וגם עם ציורים קטנים, שרק ימשכו את תשומת הלב של התינוק ויהפכו את הלמידה למהנה ומשעשעת יותר.





גם התרשים קובהניתן להשתמש כדי ללמד מספרים.







תָכְנִית פירמידותיכול לעזור לך להבין את הנוסחאות החלות על נתון נתון.





בנוסף, אני מציע שתכיר את התרשים אוקטהדרון.







תָכְנִית אַרְבָּעוֹןבין היתר, זה יעזור לך ללמוד צבעים.

















כפי שהבנתם, יש להדפיס את התבניות הנ"ל, לגזור אותן, לכופף אותן לאורך הקווים ולהדביק אותן לאורך רצועות צרות מיוחדות הצמודות לצדדים נבחרים.

דמויות גיאומטריות נפחיות פשוט הכרחיות בעת ההוראה: הן מספקות לתלמידים את ההזדמנות להחזיק אותן בידיים ולבחון אותן, וזה חלק חשוב מהתהליך החינוכי, הן פשוט נחוצות ככלי ללימוד משפט אוילר המפורסם הוכחה שגם עם עיוותים ועקמומיות, מספר הפנים של רב-הדרון, ולפיכך היחס של אוילר, יישאר ללא שינוי:

בנוסף, דמויות מוצקות יכולות להיות כלי מצוין לעזור להסביר לתלמידים כיצד למצוא את שטח הפנים של פולידרון.

אז בעזרת התבניות למטה תוכלו ליצור בקלות את הצורות הבאות:

מנסרה משולשת



פריזמה N-גונלית



אַרְבָּעוֹן



איקוזהדרון



ועוד כמה צורות גיאומטריות נפחיות נדירות ניתן למצוא בקישור הזה.