באילו תנאים עושה מטוטלת חוט. מטוטלת מתמטית: נקודה, תאוצה ונוסחאות. תנועות תנודות של מטוטלת

רעידות הנקראות הרמוניות נפוצות בטבע ובטכנולוגיה.

תנודות הרמוניות הן תנודות המתרחשות בהשפעת כוח פרופורציונלי לתזוזה של נקודת הרטט ומכוונים מול תזוזה זו.

אתה כבר יודע שבהשפעת כוח כזה, מטוטלת קפיצית מתנדנדת, כך שבתנאים מסוימים הם יכולים לשמש דוגמה לתנודות הרמוניות (בפרט, בתנאי שהן אינן מושפעות באופן ניכר מכוח החיכוך).

באמצעות הניסוי המתואר באיור 63, נגלה לפי איזה חוק משתנה הקואורדינטה של ​​מטוטלת קפיץ מתנודדת עם הזמן ואיך נראה הגרף של תלות זו.

אורז. 63. ניסיון בחקר תלות הזמן של הקואורדינטות של מטוטלת קפיצית המתנודדת

בניסוי זה לוקחים איזה כלי מאסיבי קטן עם חור קטן בתחתיתו (לדוגמה, משפך) כמטען, ומתחתיו מניחים רצועת נייר ארוכה. כלי עם חול (או נוזל צביעה שנשפך אליו) מופעל בתנועות נדנדות. אם החגורה מועברת במהירות קבועה בכיוון הניצב למישור התנודה, אזי יישאר עליה נתיב גלי של חול, שכל נקודה שלו מתאימה למיקום העומס המתנודד ברגע שעבר עליה. .

איור 64 מציג את העקומה המתקבלת. זה נקרא גל קוסינוס (מהקורס מתמטיקה בתיכון תלמדו שלגרפים דומים יש פונקציות כמו y = sin x ו-y = cos x למשתנה x). ציר הזמן t נמשך דרך הנקודות המתאימות למיקום שיווי המשקל של המטוטלת, וציר התזוזה x מצוייר בניצב אליו.

אורז. 64. גרף התלות של הקואורדינטות של מטוטלת קפיץ מתנודדת בזמן

הגרף מראה שהסטיות הגדולות ביותר של העומס ממצב שיווי המשקל בשני הכיוונים זהות בגודלן ושוות לאמפליטודה של תנודות A.

המטוטלת החלה לנוע מנקודת הקיצון עם הקואורדינטה x = A. בזמן השווה לתקופה T, המטוטלת ביצעה תנודה מלאה, כלומר לאחר שעברה את מיקום שיווי המשקל, היא הגיעה לנקודת הקיצון ההפוכה עם הקואורדינטה x = -A, והתעכב שם לרגע, משנה את כיוון המהירות לכיוון ההפוך, ואז הלך בכיוון ההפוך ולאחר שעבר את מצב שיווי המשקל בשנית, חזר לאותו המקום ממנו החל לנוע. ואז מתחילה התנודה הבאה, וכן הלאה.

אם במהלך הניסוי נמדדה פרק הזמן t שבמהלכו המטוטלת ביצעה את התנודות המוצגות בגרף, אזי ניתן לקבוע את התקופה T שלהן על ידי חלוקת זמן זה במספר התנודות: T = t/N. לדעת את התקופה, אתה יכול למצוא את תדר התנודה: v = 1/T.

הגרף מאפשר לקבוע בערך את הקואורדינטות של המטען בכל עת. לדוגמה, לאחר T מרגע תחילת התנודה הראשונה, העומס היה בנקודה עם הקואורדינטה x 1.

אם הגרף של הקואורדינטה מול הזמן של גוף הוא סינוסואיד (קוסינוס), כלומר אם הקואורדינטה משתנה עם הזמן לפי חוק הסינוס (קוסינוס), אז במקרה הזה אומרים שגם הקואורדינטה וגם הגוף עצמו לעבור תנודות הרמוניות.

• שינויים מחזוריים בזמן של גודל פיזיקלי המתרחשים על פי חוק הסינוס או הקוסינוס נקראים תנודות הרמוניות

איור 65 מציג ניסוי דומה לזה שנדון לעיל, רק עבור מטוטלת חוט. באמצעות ניסוי זה, ניתן להראות כי עבור מטוטלת חוט, גרף הקואורדינטות מול הזמן מייצג גם סינוסואיד, כלומר שהתנודות שלו הרמוניות.

אורז. 65. תנודות הרמוניות של מטוטלת חוט

תיאורטית, התנודות של מטוטלת חוט היו הרמוניות למהדרין אילו הייתה זו נקודה חומרית המתנדנדת ללא חיכוך עם משרעת קטנה של 1 במרחק ממנה לנקודת ההשעיה שאינה משתנה עם הזמן. (ניתן להוכיח שרק בתנאים אלו הכוח המחזיר את הנקודה למצב שיווי המשקל יהיה פרופורציונלי ישיר לתזוזה, וכתוצאה מכך יתחוללו התנודות לפי החוק ההרמוני, כלומר לפי חוק של שינוי של סינוס או קוסינוס.)

• נקודה חומרית המתנדנדת במרחק מנקודת ההשעיה שאינה משתנה עם הזמן נקראת מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית היא מודל מופשט במציאות אין מטוטלות כאלה.

בפועל, תנודות קרובות להרמוניות מבוצעות על ידי כדור כבד (למשל פלדה), התלוי על חוט קל ונמוך מתיחה, שאורכו גדול משמעותית מקוטר כדור זה, עם משרעת נמוכה וחיכוך נמוך. .

כאשר גוף מבצע תנודות הרמוניות, לא רק הקואורדינטה שלו, אלא גם כמויות כמו כוח, תאוצה, מהירות, משתנות בהתאם לחוק הסינוס או הקוסינוס. זה נובע מהחוקים והנוסחאות שאתם מכירים, שבהם הכמויות המצוינות קשורות בזוגיות על ידי קשר פרופורציונלי, למשל F x = -kx (חוק הוק), ו-x = F x /m (החוק השני של ניוטון). מנוסחאות אלו נובע שכוח ותאוצה מגיעים לערכים הגדולים ביותר שלהם כאשר הגוף המתנודד נמצא במצבים קיצוניים שבהם התזוזה היא הגדולה ביותר, ושווים לאפס כאשר הגוף עובר בתנוחת שיווי המשקל. המשמעות היא שתנועת התנודה ליד המיקום הממוצע של הגוף היא הכי קרובה לאחידה, וליד המצבים הקיצוניים היא שונה מאוד מתנועה אחידה. המהירות, להיפך, במצבי קיצון היא אפס, וכאשר הגוף עובר בתנוחת שיווי המשקל הוא מגיע לערכו הגדול ביותר.

שאלות

• בהתבסס על איור 63, ספר לנו על המטרה, סדר הביצוע ותוצאות הניסוי המתואר.
• למה מתאימים הקטעים OA ו-OT בגרף (ראה איור 64)?
• אילו רעידות נקראות הרמוניות?
• מה ניתן להראות באמצעות הניסוי המתואר באיור 65?
• מהי מטוטלת מתמטית?
• באילו תנאים תתנדנד מטוטלת מיתר אמיתית קרוב להרמונית?
• כיצד משתנים הכוח הפועל על גוף, תאוצתו ומהירותו כאשר הוא מבצע תנודות הרמוניות?

1 הבה נזכיר כי בקטן אנו מתכוונים לאמפליטודה כזו שבה מסלול המטוטלת יכול להיחשב ישר. הערך המספרי של המשרעת שעונה על תנאי זה תלוי בדיוק התוצאה הנדרשת בבעיה הנפתרת. ברוב הבעיות המעשיות, האמפליטודה יכולה להיחשב קטנה אם זווית הסטייה אינה עולה על 8°.

עבודת מחקר "תקופת מטוטלת החוט"תלמידת כיתה ח' (2005-2006 שנת לימודים) יבגניה דולגובה הושלמה בהדרכת המורה לפיזיקה T.G.

מקום 2 בכנס האזורי "חוקרים צעירים";

פרס תמריץ בכנס האזורי השביעי של תלמידי בתי ספר "חוקרים צעירים למדע וטכנולוגיה רוסית" (TPU),

דיפלומה של השתתפות בכנס המדעי לתלמידי בית ספר "מודל מתמטי ופיזי של בעיות במדעי הטבע" (TSU)

תקופה של מטוטלת מיתר
תוֹכֶן

מבוא

1. המטוטלת היא לא רק בשעונים

3. חקר התלות של תנודות המטוטלת במסה

גוף מתנודד, אורך החוט וגודל הסטייה הראשונית של המטוטלת

4. חקר התלות של תנודות המטוטלת בגורמים אחרים

סיכום

סִפְרוּת
מבוא

השנה, תוך כדי לימוד הנושא "תנודות מכניות", הסתכלנו על תנועות תנודות באמצעות הדוגמה של שתי מטוטלות - מטוטלת חוט ומטוטלת קפיצית. למדנו אילו כמויות פיזיקליות בסיסיות מאפיינות תנועת תנודה: תקופה, תדירות ומשרעת. נוסחאות התקופה ניתנו ללא מסקנות, ללא הסברים מדוע הייתה תלות כזו באורך ותאוצה של נפילה חופשית, למשל, עבור מטוטלת חוט. בהקשר זה התעוררה בעיה מחקרית: לבצע ניסויים כדי לוודא את תקפות הנוסחה לתקופה של חוט או מטוטלת מתמטית. זה מוביל לנושא המחקר : "תקופת מטוטלת החוטים."

מושא לימוד: מטוטלות שונות.

מטרת המחקר: למדו את היסודות התיאורטיים של תנועת תנודה, ערכו סדרה של ניסויים ומדידות שחושפים במה וכיצד תלויה התקופה של מטוטלת חוט.

נושאי מחקר:

1. 
   למד ספרות חינוכית על תנודות.
2. 
   למד את המתודולוגיה של עריכת ניסויים.
3. 
   לערוך ניסויים ולהסיק מסקנות.

אלמנטים של חידושהעבודה שלנו טמונה בכך שלא רק בדקנו שהתקופה תלויה באורך ותאוצת הכבידה, אלא גם הקפדנו שריבוע התקופה הוא פרופורציונלי לאורך החוט. התקופה נגזרה מתקופת המהפכה סביב המעגל. הם גם בדקו האם תקופת המטוטלת משתנה במים.

שלבי המחקר:

1. 
   ספטמבר-אוקטובר 2005 לימוד וניתוח ספרות בנושא זה.
2. 
   נובמבר 2005 יצירת מודל לביצוע ניסויים.
3. 
   דצמבר 2005 ביצוע ניסויים.
4. 
   ינואר 2006 שיטתיות של העבודה
5. 
   פברואר 2006 בחירת חומר חזותי. כתיבת מאמר.

בסיס מחקר.

המחקר בוצע בבית ספר תיכון "איתת" מס' 2, הכפר. טומסקו.

בוצעו כ-20 ניסויים.

אתה נתקל בתופעות תנודות ממש בכל צעד. זה כולל נדנוד של ענפי עצים, גלים על פני המים, חלקים של מכונות שונות המבצעות תנועות נדנוד, ולבסוף, תנודות אוויר במהלך שיחה. ארובות המפעל ובניינים גבוהים מתנדנדים ברוח, כמו להב מסור שנערך בקצה אחד בסגן. נכון, תנודות כאלה אינן כל כך גדולות. משרעת הרטט של ראש מגדל אייפל בפריז (גובה 300 מטר) ברוח חזקה היא כ-50 סנטימטרים. יש גם רעידות אלקטרומגנטיות, גלי רדיו

תנודות יכולות להועיל או להזיק. תנודות שימושיות כוללות תנודות של מטוטלת בשעון, תנודות של מיתרים או אוויר בכלי נגינה וכל סוגי הרטטים המשמשים במדע ובטכנולוגיה.

ורעידות מזיקות הן, למשל, אלה שבגלל תהודה מאיימות להרוס מבנים או יסודות מכונות ולהפוך חלקים בודדים של מנגנונים לבלתי שמישים. רעידות מזיקות כוללות גם תופעות טבע כמו רעידות אדמה, שלעתים גורמות להרס רב.

לרעידות תפקיד עצום בחיי האדם. ללא ידע על חוקי התנודות, אי אפשר יהיה ליצור רדיו, טלוויזיה והרבה מכשירים ומכונות מודרניות.
2. חוט או מטוטלת מתמטית

היסוס! מבטנו נופל על המטוטלת של שעון הקיר. הוא ממהר בחוסר שקט, תחילה לכיוון אחד, אחר כך לכיוון השני, במכותיו כאילו מפרק את זרימת הזמן לקטעים שנמדדו במדויק. "אחת-שתיים, אחת-שתיים," אנחנו חוזרים לא מרצון בזמן עם התקתוק שלו.

קו אנך ומטוטלת הם הפשוטים ביותר מכל המכשירים המשמשים את המדע. מפתיע על אחת כמה וכמה שהושגו תוצאות מדהימות באמת עם כלים פרימיטיביים כאלה: בזכותם הצליח האדם לחדור נפשית לבטן כדור הארץ, כדי לגלות מה קורה עשרות קילומטרים מתחת לרגלינו.

נדנדה שמאלה וחזרה ימינה, למצב המקורי, מהווה תנופה מלאה של המטוטלת, וזמן תנופה אחת שלמה נקרא תקופת הנדנדה. מספר הפעמים שגוף מתנודד בשנייה נקרא תדר התנודה. מטוטלת היא גוף תלוי על חוט, שקצהו השני קבוע. אם אורך החוט גדול בהשוואה לגודל הגוף התלוי עליו, ומסת החוט זניחה בהשוואה למסת הגוף, אזי מטוטלת כזו נקראת מטוטלת מתמטית או פתיל. כמעט כדור כבד קטן התלוי על חוט ארוך קל יכול להיחשב מטוטלת חוט.

תקופת התנודה של מטוטלת מתבטאת בנוסחה:
ט= 2π √ ל / ז

מהנוסחה ברור שתקופת התנודה של המטוטלת אינה תלויה במסת העומס או במשרעת התנודות, וזה מפתיע במיוחד. אחרי הכל, עם אמפליטודות שונות, גוף מתנודד עובר נתיבים שונים במהלך תנודה אחת, אבל הזמן המושקע בו הוא תמיד זהה. משך תנופת המטוטלת תלוי באורכה ובהאצת הכבידה.

בעבודתנו החלטנו לבדוק בניסוי שהתקופה אינה תלויה בגורמים אחרים ולוודא את תקפותה של נוסחה זו.
3. לימוד התלות של תנודות המטוטלת במסת הגוף המתנודד, אורך החוט וגודל הסטייה הראשונית של המטוטלת.
מחקר 1.

מכשירים וחומרים: שעון עצר, סרט מדידה, מטוטלת (משקל על חוט), תושבת למטוטלת.

תחילה מדדנו את תקופת התנודה של המטוטלת עבור מסת גוף של 10 גרם וזווית סטייה של 20°, תוך שינוי אורך החוט.

לאחר מכן מדדנו את תקופת המטוטלת במסה של 20 גרם וזווית סטייה של 20 מעלות, תוך שינוי אורך החוט. התקופה נמדדה גם על ידי הגדלת זווית הסטייה ל-40°, במסה של 20 גרם ובאורכים שונים של החוט. תוצאות המדידה נרשמו בטבלה 1.

שולחן 1.

№	אורך חוט ל, מ.	מִשׁקָל מטוטלות קא, ק"ג	פינה חֲרִיגָה ניה	מספר תנודות נ	זמן מלא ט. ג	פרק זמן ט.ג.	כיכר תקופת T 2
1	0,2	0,01	20	20	17	0.85	0,72
2	0,4	0,01	20	20	25	1,25	1,56
3	0,6	0,01	20	20	30	1,5	2,25
4	0,8	0,01	20	20	37	1,85	3,42
5	1	0,01	20	20	40	2	4
6	0,4	0,02	20	20	26	1,3	1,69
7	0,6	0,02	20	20	32	1,6	2,56
8	0,4	0,02	40	20	27	1,35	1,8
9	0,6	0,02	40	20	31	1,55	2,4

מניסויים השתכנענו שהתקופה באמת לא תלויה במסת המטוטלת ובזווית הסטייה שלה, אבל עם אורך חוט המטוטלת הולך וגדל, תקופת התנודה שלה תגדל, אבל לא בפרופורציה לאורך, אלא בצורה מורכבת יותר. תוצאות הניסוי מוצגות בטבלה. בנינו לוח זמנים. כפי שאתה יכול לראות, הפונקציה ט = ו(ל) לא ליניארי, כלומר. התקופה אינה פרופורציונלית לאורך החוט ל . לאחר מכן מצאנו את הריבועים של התקופות עבור ערכים שונים של אורך החוט ושרטטנו את הגרף המתאים. כפי שאתה יכול לראות, כל נקודות הניסוי נמצאות קרוב לקו הישר.

זה מאפשר לנו לנסח את החוק: הריבוע של תקופת התנודה של מטוטלת הוא פרופורציונלי לאורך החוט שלה: ט 2 = ql . או שאפשר לנסח את החוק הזה כך:

תקופת התנודה של מטוטלת פרופורציונלית לשורש הריבועי של אורך החוט שלה:

T=k √ l

כדי להבהיר את אופי התלות של תקופת התנודה של מטוטלת באורכה ובהאצת הנפילה החופשית, ביצענו ניסוי באמצעות אילוץ המטוטלת לנוע במעגל. לאחר שקבענו את תקופת המהפכה של המטוטלת, מצאנו שהיא שווה לתקופת התנודה של המטוטלת:

T ob = T ספירת = T.

תקופת הסיבוב של החרוט חושבה - היא שווה לאורך המעגל המתואר על ידי הכדור, חלקי המהירות הליניארית:

Т = 2 π R / υ

מכיוון שהכדור נע במעגל, הוא מופעל על ידי כוח צנטריפטלי ו = M υ 2 / ר , איפה υ = √ ו ר / M

ניתן למצוא כוח צנטריפטלי בצורה גיאומטרית - במשולשים OBCו INדהצדדים דומים הם פרופורציונליים: בָּהד= OV: SV, או ו : מ"ג = ר : ל , איפה

ו = mgR / ל . החלפת ערך הכוח הצנטריפטלי בנוסחת המהירות הליניארית, נקבל υ = ר √ ז / ל .

ועל ידי החלפת הערך של מהירות ליניארית בנוסחת התקופה, מצאנו את זה

T = 2 π √ l/g

אז, תקופת התנודה של מטוטלת מתמטית תלויה רק ​​באורך המטוטלת ל ומהאצת הנפילה החופשית ז .

4. חקר התלות של תנודות בגורמים אחרים.
מחקר 2.

מכשירים וחומרים : מטוטלת, מגנט, שעון עצר.

שמנו מגנט מתחת למטוטלת עם משקל ברזל ובדקנו איך משתנה תקופת המטוטלת. התוצאות נרשמו בטבלה 2.

שולחן 2.

№	אורך חוט ל, מ.	מִשׁקָל מטוטלות קא, ק"ג	פינה חֲרִיגָה ניה	מספר תנודות נ	זמן מלא ט. ג	פרק זמן ט.ג.
1.	0,4	0,02	20	20	24	1,2
2.	0,6	0,02	20	20	30	1,5

משווים את המחקר הראשון למחקר זה (שונה רק בכך שהונח מגנט), אנו רואים שתקופת המטוטלת ירדה מעט. הפעלת מגנט שווה ערך להגברת כוח הכבידה, כלומר התקופה תלויה בתאוצת הכבידה. לכן, המטוטלת מוצאת יישום חשוב בחקירה גיאולוגית. במקומות על פני כדור הארץ בהם מתרחשים סלעים שצפיפותם שונה מהצפיפות הממוצעת של כדור הארץ, ערך התאוצה עקב כוח הכבידה עשוי להיות שונה. על ידי מדידת תאוצת הכבידה באמצעות מטוטלת, ניתן לזהות משקעים כאלה.

g = 4 π 2 ל / T 2
מחקר 3.

מכשירים וחומרים : חוט, שתי משקולות עם ווים, שעון עצר, סרט מדידה.

התקופה אינה תלויה במסה של העומס התלוי. החלטנו לבדוק: האם תקופת התנודה תהיה זהה אם תחילה אחת ואחר כך שתי משקולות מחוברות בסדרה עם ווים תלויות מאותו חוט?

התוצאות נרשמו בטבלה 3.

שולחן 3.

№	אורך חוט ל, מ.	מִשׁקָל מטוטלות קא, ק"ג	פינה חֲרִיגָה ניה	מספר תנודות נ	זמן מלא ט. ג	פרק זמן ט.ג.
1.	0,6	0,01	20	20	31	1,5
2.	0,6	0,02	20	20	32	1,6

סיכום: התקופה אינה תלויה באם שני מטענים מושעים אחד מתחת לאחד.
5. מטוטלת במים

בעבודתנו החלטנו לבדוק גם כיצד הסביבה משפיעה על התנודות. הם מדדו את הזמן שלוקח לתנודות לגווע באוויר, ואז הורידו את המטוטלת למים ושוב מדדו את תקופת התנודות שלה ואת זמן השיכוך.

התוצאות נרשמו בטבלה 4.
טבלה 4.

№	אורך חוט ל, מ.	מִשׁקָל מטוטלות קא, ק"ג	פינה חֲרִיגָה ניה	מספר תנודות נ	זמן מלא ט. ג	זמן דעיכה
1	0,6	0,01	20	(אוויר) 76	120	6 דקות
2	0,6	0,02	20	(מים) 1	2 שניות.	2 שניות.

מכיוון שהמטוטלת מתנדנדת במדיום בעל התנגדות נמוכה, נראה שאין סיבה שיכולה לשנות באופן ניכר את מהירות התנופה שלה. בינתיים, הניסיון מלמד שהמטוטלת בתנאים כאלה מתנדנדת לאט יותר (כמעט לא מתנדנדת), מאשר זה יכול להיות מוסבר על ידי ההתנגדות של המדיום.

תופעה זו, המסתורית במבט ראשון, מוסברת בהשפעה הציפה של מים על גופים השקועים בהם. נראה שהוא מפחית את משקל המטוטלת מבלי לשנות את המסה שלה. המשמעות היא שהמטוטלת במים נמצאת בדיוק באותם תנאים כאילו היא הייתה מועברת לכוכב אחר, שבו תאוצת הכבידה חלשה יותר. מכאן נובע שעם ירידה בתאוצת הכבידה, זמן התנודה אמור לעלות: המטוטלת תתנודד לאט יותר.

סיכום

המחקר שנערך איפשר:

להרחיב ולהעמיק את הידע שלי בתנועת תנודה בפרט; על תנודות של מטוטלת חוט;

ודא שהנוסחה לתקופה של מטוטלת נכונה;

להבין שהניסיון מאשר את התיאוריה ושכל תיאוריה צריכה אימות ניסיוני;

שיפור מיומנויות בביצוע ניסויים פיזיים

משמעות מעשיתעבודה זו היא שניתן להשתמש בה בשיעורי פיזיקה כאשר לומדים נושא זה, קורסים מיוחדים.

המוזרות של העבודה הזוהיא שזה לא דורש ציוד מעבדה מורכב, ואתה יכול לעשות מטוטלות בעצמך.
בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1. 
   Bludov M.I., שיחות על פיזיקה. מ': חינוך, 1973.
2. 
   Kabardin O.F., קורס פיזיקה אופציונלי, כיתה ח'. מ': חינוך, 1973.
3. 
   פרלמן יא., האם אתה יודע פיזיקה? Domodedovo "VAP", 1994.
4. 
   פינסקי א.א., פיזיקה ואסטרונומיה. מ': חינוך, 1993.
5. 
   רביזה פ., ניסויים פשוטים. מ': ספרות ילדים 2002.

מטוטלת מתמטיקההיא נקודה חומרית התלויה על חוט חסר משקל ובלתי ניתן להרחבה הממוקם בשדה הכבידה של כדור הארץ. מטוטלת מתמטית היא מודל אידאלי המתאר נכון מטוטלת אמיתית רק בתנאים מסוימים. מטוטלת אמיתית יכולה להיחשב מתמטית אם אורך החוט גדול בהרבה מגודל הגוף התלוי עליו, מסת החוט זניחה בהשוואה למסת הגוף, והעיוותים של החוט כה קטנים שאפשר להזניח אותם לגמרי.

המערכת המתנודדת במקרה זה נוצרת על ידי חוט, גוף המחובר אליו וכדור הארץ, שבלעדיו מערכת זו לא יכולה לשמש כמטוטלת.

איפה א איקס – תְאוּצָה, ז - האצת כוח המשיכה, איקס- עקירה, ל– אורך חוט המטוטלת.

המשוואה הזו נקראת משוואת תנודות חופשיות של מטוטלת מתמטית.הוא מתאר נכון את הרעידות המדוברות רק כאשר מתקיימות ההנחות הבאות:

2) רק תנודות קטנות של המטוטלת עם זווית תנודה קטנה נחשבות.

רעידות חופשיות של כל מערכות מתוארות בכל המקרים על ידי משוואות דומות.

הגורמים לתנודות חופשיות של מטוטלת מתמטית הם:

1. פעולת המתח והכבידה על המטוטלת, מונעת ממנה לנוע ממצב שיווי המשקל ומאלצת אותה ליפול שוב.

2. האינרציה של המטוטלת, שבגללה היא, תוך שמירה על מהירותה, אינה נעצרת במצב שיווי המשקל, אלא עוברת דרכה הלאה.

תקופה של תנודות חופשיות של מטוטלת מתמטית

תקופת התנודה החופשית של מטוטלת מתמטית אינה תלויה במסה שלה, אלא נקבעת רק על פי אורך החוט ותאוצת הכבידה במקום שבו נמצאת המטוטלת.

המרת אנרגיה במהלך תנודות הרמוניות

במהלך תנודות הרמוניות של מטוטלת קפיצית, האנרגיה הפוטנציאלית של גוף מעוות אלסטי מומרת לאנרגיה הקינטית שלו, כאשר ק – מקדם גמישות, איקס -מודול תזוזה של המטוטלת ממצב שיווי המשקל, M- מסת המטוטלת, v- המהירות שלו. לפי משוואת הרטט הרמונית:

, .

אנרגיה כוללת של מטוטלת קפיץ:

.

סך האנרגיה למטוטלת מתמטית:

במקרה של מטוטלת מתמטית

טרנספורמציות אנרגיה במהלך תנודות של מטוטלת קפיצית מתרחשות בהתאם לחוק שימור האנרגיה המכנית ( ). כאשר מטוטלת נעה מטה או מעלה ממצב שיווי המשקל שלה, האנרגיה הפוטנציאלית שלה גדלה, והאנרגיה הקינטית שלה פוחתת. כאשר המטוטלת עוברת את מיקום שיווי המשקל ( איקס= 0), האנרגיה הפוטנציאלית שלו היא אפס והאנרגיה הקינטית של המטוטלת היא בעלת הערך הגדול ביותר, שווה לסך האנרגיה שלה.

לפיכך, בתהליך של תנודות חופשיות של המטוטלת, האנרגיה הפוטנציאלית שלה הופכת לקינטית, קינטית לפוטנציאל, פוטנציאל ואז חזרה לקינטית וכו'. אבל האנרגיה המכנית הכוללת נשארת ללא שינוי.

רעידות מאולצות. תְהוּדָה.

תנודות המתרחשות בהשפעת כוח מחזורי חיצוני נקראות תנודות מאולצות. כוח מחזורי חיצוני, הנקרא כוח מניע, מעניק אנרגיה נוספת למערכת המתנודדת, שהולכת לחדש את הפסדי האנרגיה המתרחשים עקב חיכוך. אם הכוח המניע משתנה עם הזמן על פי חוק הסינוס או הקוסינוס, אזי התנודות הכפויות יהיו הרמוניות ובלתי מורמות.

שלא כמו תנודות חופשיות, כאשר המערכת מקבלת אנרגיה פעם אחת בלבד (כאשר המערכת מוציאה משיווי משקל), במקרה של תנודות מאולצות המערכת קולטת אנרגיה זו ממקור של כוח מחזורי חיצוני באופן רציף. אנרגיה זו מפצה על ההפסדים שהושקעו בהתגברות על החיכוך, ולכן האנרגיה הכוללת של המערכת המתנודדת עדיין נשארת ללא שינוי.

התדירות של תנודות מאולצות שווה לתדירות הכוח המניע. במקרה שבו תדירות הכוח המניע υ עולה בקנה אחד עם התדר הטבעי של מערכת התנודות υ 0 , יש עלייה חדה במשרעת של תנודות מאולצות - תְהוּדָה. תהודה מתרחשת בשל העובדה כי מתי υ = υ 0 הכוח החיצוני, הפועל בזמן עם תנודות חופשיות, תמיד מיושר עם מהירות הגוף המתנודד ועושה עבודה חיובית: האנרגיה של הגוף המתנודד גדלה, ומשרעת התנודות שלו נעשית גדולה. גרף של משרעת של תנודות מאולצות א ט על תדירות הכוח המניע υ המוצג באיור, גרף זה נקרא עקומת התהודה:

תופעת התהודה ממלאת תפקיד חשוב במספר תהליכים טבעיים, מדעיים ותעשייתיים. למשל, יש צורך לקחת בחשבון את תופעת התהודה בעת תכנון גשרים, מבנים ומבנים אחרים שחווים רטט בעומס, אחרת בתנאים מסוימים עלולים מבנים אלו להיהרס.

1. באילו תנאים נעה נקודה חומרית באופן אחיד וישיר? 2. האם חוק ניוטון תקף עבור גוף שרירותי או רק עבור

נקודה חומרית?

3. אילו תנאים נחוצים כדי שגוף ינוע בתאוצה מתמדת?

1. החוק הראשון של ניוטון?

2. אילו מערכות ייחוס הן אינרציאליות ולא אינרציאליות? תן דוגמאות.
3. מהי תכונתם של גופים הנקראת אינרציה? איזה ערך מאפיין אינרציה?
4. מה הקשר בין המוני הגופים לבין מודולי התאוצה שהם מקבלים במהלך האינטראקציה?
5. מהו חוזק וכיצד הוא מאופיין?
6. ניסוח החוק השני של ניוטון? מה הסימון המתמטי שלו?
7. כיצד מנוסח החוק השני של ניוטון בצורת דחף? הסימון המתמטי שלו?
8. מהו 1 ניוטון?
9. איך גוף זז אם מופעל עליו כוח קבוע בגודלו ובכיווןו? מהו כיוון התאוצה הנגרמת מהכוח הפועל עליה?
10. כיצד נקבע תוצאת הכוחות?
11. כיצד מנוסח וכתוב החוק ה-3 של ניוטון?
12. כיצד מכוונות התאוצות של גופים המקיימים אינטראקציה?
13. תן דוגמאות לביטוי החוק ה-3 של ניוטון.
14. מהם גבולות התחולה של כל חוקי ניוטון?
15. מדוע אנו יכולים לראות בכדור הארץ מסגרת ייחוס אינרציאלית אם הוא נע בתאוצה צנטריפטית?
16. מהו דפורמציה, אילו סוגי דפורמציה אתה מכיר?
17. איזה כוח נקרא כוח אלסטי? מה טיבו של כוח זה?
18. מהן התכונות של כוח אלסטי?
19. כיצד מכוון הכוח האלסטי (כוח תגובת תמיכה, כוח מתח חוט?)
20. כיצד מנוסח וכתוב חוק הוק? מהם גבולות התחולה שלו? בנו גרף הממחיש את חוק הוק.
21. כיצד מנוסח וכתוב חוק הכבידה, מתי הוא ישים?
22. תאר את הניסויים לקביעת ערכו של קבוע הכבידה?
23. מהו קבוע הכבידה, מה המשמעות הפיזית שלו?
24. האם העבודה שעושה כוח הכבידה תלויה בצורת המסלול? מהי העבודה שעושה כוח הכבידה בלולאה סגורה?
25. האם עבודת הכוח האלסטי תלויה בצורת המסלול?
26. מה אתה יודע על כוח הכבידה?
27. כיצד מחושבת תאוצת הכבידה בכדור הארץ ובכוכבי לכת אחרים?
28. מהי מהירות הבריחה הראשונה? איך זה מחושב?
29. מה נקרא נפילה חופשית? האם תאוצת הכבידה תלויה במסת הגוף?
30. תאר את הניסוי של גלילאו גליליי המוכיח שכל הגופים בוואקום נופלים באותה תאוצה.
31. איזה כוח נקרא כוח החיכוך? סוגי כוחות חיכוך?
32. כיצד מחושבים כוחות החיכוך של החלקה וגלגול?
33. מתי מתרחש כוח החיכוך הסטטי? למה זה שווה?
34. האם כוח החיכוך ההחלקה תלוי באזור המשטחים המגעים?
35. באילו פרמטרים תלוי כוח החיכוך המחליק?
36. במה תלוי כוח ההתנגדות לתנועת הגוף בנוזלים ובגזים?
37. איך נקרא משקל הגוף? מה ההבדל בין משקל הגוף לכוח הכבידה הפועל על הגוף?
38. באיזה מקרה משקלו של גוף שווה מספרית למודול הכבידה?
39. מהו חוסר משקל? מהו עומס יתר?
40. כיצד לחשב את משקל הגוף במהלך תנועתו המואצת? האם משקלו של גוף משתנה אם הוא נע לאורך מישור אופקי נייח בתאוצה?
41. כיצד משתנה משקלו של גוף כאשר הוא נע לאורך חלק קמור וקעור של מעגל?
42. מהו האלגוריתם לפתרון בעיות כאשר גוף נע בהשפעת מספר כוחות?
43. איזה כוח נקרא כוח ארכימדס או כוח ציפה? באילו פרמטרים הכוח הזה תלוי?
44. באילו נוסחאות ניתן להשתמש כדי לחשב את כוח ארכימדס?
45. באילו תנאים גוף בנוזל צף, שוקע או צף?
46. ​​כיצד עומק הטבילה בנוזל של גוף צף תלוי בצפיפות שלו?
47. למה בלונים מלאים במימן, הליום או אוויר חם?
48. הסבר את השפעת סיבוב כדור הארץ סביב צירו על ערך תאוצת הכבידה.
49. כיצד משתנה ערך הכבידה כאשר: א) הגוף מתרחק מפני השטח של כדור הארץ, ב) כאשר הגוף נע לאורך המרידיאן, במקביל

מערכת מכנית המורכבת מנקודה חומרית (גוף) התלויה על חוט חסר משקל בלתי ניתן להרחבה (מסתו זניחה בהשוואה למשקל הגוף) בשדה כבידה אחיד נקראת מטוטלת מתמטית (שם אחר הוא מתנד). ישנם סוגים אחרים של מכשיר זה. במקום חוט, ניתן להשתמש במוט חסר משקל. מטוטלת מתמטית יכולה לחשוף בבירור את המהות של תופעות מעניינות רבות. כאשר משרעת הרטט קטנה, התנועה שלו נקראת הרמונית.

סקירת מערכת מכנית

הנוסחה לתקופת התנודה של מטוטלת זו נגזרה על ידי המדען ההולנדי הויגנס (1629-1695). בן זמנו של I. ניוטון התעניין מאוד במערכת המכנית הזו. בשנת 1656 הוא יצר את השעון הראשון עם מנגנון מטוטלת. הם מדדו זמן בדיוק יוצא דופן עבור אותם זמנים. המצאה זו הפכה לשלב מרכזי בפיתוח ניסויים פיזיים ופעילויות מעשיות.

אם המטוטלת נמצאת במצב שיווי משקל (תלוי אנכית), היא תאוזן על ידי כוח המתח של החוט. מטוטלת שטוחה על חוט בלתי ניתן להרחבה היא מערכת עם שתי דרגות חופש עם צימוד. כאשר משנים רק רכיב אחד, המאפיינים של כל חלקיו משתנים. אז אם החוט מוחלף על ידי מוט, אז למערכת המכנית הזו תהיה רק ​​דרגת חופש אחת. אילו תכונות יש למטוטלת מתמטית? במערכת הפשוטה ביותר הזו, כאוס מתעורר בהשפעת הפרעות תקופתיות. במקרה שבו נקודת ההשעיה לא זזה, אלא מתנדנדת, למטוטלת יש תנוחת שיווי משקל חדשה. עם תנודות מהירות למעלה ולמטה, מערכת מכנית זו רוכשת תנוחת "הפוך" יציבה. יש לזה גם שם משלו. זה נקרא מטוטלת Kapitza.

תכונות של מטוטלת

למטוטלת המתמטית תכונות מעניינות מאוד. כולם מאושרים על ידי חוקים פיזיקליים ידועים. תקופת התנודה של כל מטוטלת אחרת תלויה בנסיבות שונות, כמו גודל הגוף וצורתו, המרחק בין נקודת המתלה למרכז הכובד והתפלגות המסה ביחס לנקודה זו. לכן קביעת תקופת התלייה של גוף היא משימה קשה למדי. הרבה יותר קל לחשב את התקופה של מטוטלת מתמטית, שהנוסחה שלה תינתן להלן. כתוצאה מתצפיות על מערכות מכניות דומות, ניתן לקבוע את הדפוסים הבאים:

אם, תוך שמירה על אותו אורך של המטוטלת, נשהה משקלים שונים, אזי תקופת התנודות שלהם תהיה זהה, אם כי המסות שלהם ישתנו מאוד. כתוצאה מכך, התקופה של מטוטלת כזו אינה תלויה במסת העומס.

אם, בעת הפעלת המערכת, המטוטלת מוסטת בזוויות לא גדולות מדי, אלא בזוויות שונות, אז היא תתחיל להתנודד באותה תקופה, אבל עם אמפליטודות שונות. כל עוד הסטיות ממרכז שיווי המשקל אינן גדולות מדי, הרעידות בצורתן יהיו די קרובות להרמוניות. התקופה של מטוטלת כזו אינה תלויה בשום צורה במשרעת התנודה. תכונה זו של מערכת מכנית נתונה נקראת איזוכרוניזם (בתרגום מיוונית "כרונוס" - זמן, "איזוס" - שווה).

תקופה של מטוטלת מתמטית

אינדיקטור זה מייצג את התקופה למרות הניסוח המורכב, התהליך עצמו פשוט מאוד. אם אורך החוט של מטוטלת מתמטית הוא L, ותאוצת הנפילה החופשית היא g, אז ערך זה שווה ל:

התקופה של תנודות טבעיות קטנות אינה תלויה בשום צורה במסה של המטוטלת ובמשרעת התנודות. במקרה זה, המטוטלת נעה כמטוטלת באורך מופחת.

תנודות של מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית מתנדנדת, אותה ניתן לתאר באמצעות משוואה דיפרנציאלית פשוטה:

x + ω2 sin x = 0,

כאשר x (t) הוא פונקציה לא ידועה (זו זווית הסטייה ממיקום שיווי המשקל התחתון ברגע t, מבוטאת ברדיאנים); ω הוא קבוע חיובי, הנקבע מהפרמטרים של המטוטלת (ω = √g/L, כאשר g היא תאוצת הכבידה, ו-L הוא אורך המטוטלת המתמטית (השעיה).

המשוואה עבור רעידות קטנות ליד מיקום שיווי המשקל (משוואה הרמונית) נראית כך:

x + ω2 sin x = 0

תנועות תנודות של מטוטלת

מטוטלת מתמטית, שעושה תנודות קטנות, נעה לאורך סינוסואיד. המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני עונה על כל הדרישות והפרמטרים של תנועה כזו. כדי לקבוע את המסלול, יש צורך להגדיר את המהירות ואת הקואורדינטה, שממנה נקבעים קבועים בלתי תלויים:

x = A sin (θ 0 + ωt),

כאשר θ 0 הוא השלב ההתחלתי, A הוא משרעת התנודה, ω הוא התדר המחזורי שנקבע ממשוואת התנועה.

מטוטלת מתמטית (נוסחאות לאמפליטודות גדולות)

מערכת מכנית זו, המתנדנדת באמפליטודה משמעותית, כפופה לחוקי תנועה מורכבים יותר. עבור מטוטלת כזו הם מחושבים לפי הנוסחה:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

כאשר sn הוא סינוס Jacobi, אשר עבור u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

כאשר ε = E/mL2 (mL2 היא האנרגיה של המטוטלת).

תקופת התנודה של מטוטלת לא ליניארית נקבעת באמצעות הנוסחה:

כאשר Ω = π/2 * ω/2K(u), K הוא האינטגרל האליפטי, π - 3,14.

תנועה של מטוטלת לאורך מפריד

נפרדריקס הוא מסלול של מערכת דינמית שיש לה מרחב פאזה דו מימדי. מטוטלת מתמטית נעה לאורכה באופן לא תקופתי. ברגע רחוק לאין שיעור בזמן, הוא נופל מהמיקום הגבוה ביותר שלו לצד במהירות אפסית, ואז זוכה בה בהדרגה. בסופו של דבר הוא נעצר וחוזר למקומו המקורי.

אם משרעת תנודות המטוטלת מתקרבת למספר π , זה מצביע על כך שהתנועה במישור הפאזה מתקרבת למפריד. במקרה זה, בהשפעת כוח מחזורי קטן, המערכת המכנית מפגינה התנהגות כאוטית.

כאשר מטוטלת מתמטית סוטה ממיקום שיווי המשקל עם זווית מסוימת φ, נוצר כוח משיכה משיק של הכבידה Fτ = -mg sin φ. סימן המינוס אומר שמרכיב משיק זה מכוון לכיוון המנוגד לסטייה של המטוטלת. כאשר מציינים ב-x את תזוזה של המטוטלת לאורך קשת מעגלית עם רדיוס L, התזוזה הזוויתית שלה שווה ל-φ = x/L. החוק השני, המיועד להטלות ולכוח, ייתן את הערך הרצוי:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

בהתבסס על קשר זה, ברור שמטוטלת זו היא מערכת לא לינארית, שכן הכוח הנוטה להחזיר אותה למצב שיווי המשקל הוא תמיד פרופורציונלי לא לתזוזה x, אלא לחטא x/L.

רק כאשר מטוטלת מתמטית מבצעת תנודות קטנות היא מתנד הרמוני. במילים אחרות, היא הופכת למערכת מכנית המסוגלת לבצע תנודות הרמוניות. קירוב זה תקף למעשה עבור זוויות של 15-20 מעלות. תנודות של מטוטלת עם משרעות גדולות אינן הרמוניות.

חוק ניוטון לתנודות קטנות של מטוטלת

אם מערכת מכנית נתונה מבצעת תנודות קטנות, החוק השני של ניוטון ייראה כך:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

בהתבסס על זה, אנו יכולים להסיק כי מטוטלת מתמטית פרופורציונלית לעקירה שלה עם סימן מינוס. זהו המצב שבגללו המערכת הופכת למתנד הרמוני. מודול מקדם המידתיות בין תזוזה לתאוצה שווה לריבוע של התדר המעגלי:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

נוסחה זו משקפת את התדירות הטבעית של תנודות קטנות של סוג זה של מטוטלת. על סמך זה,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

חישובים המבוססים על חוק שימור האנרגיה

ניתן לתאר את המאפיינים של מטוטלת גם באמצעות חוק שימור האנרגיה. יש לקחת בחשבון שהמטוטלת בשדה הכבידה שווה ל:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

סך הכל שווה פוטנציאל קינטי או מקסימלי: Epmax = Ekmsx = E

לאחר שנכתב חוק שימור האנרגיה, קח את הנגזרת של צד ימין וצד שמאל של המשוואה:

מכיוון שהנגזרת של כמויות קבועות שווה ל-0, אז (Ep + Ek)" = 0. הנגזרת של הסכום שווה לסכום הנגזרות:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x"= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

לָכֵן:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

בהתבסס על הנוסחה האחרונה, אנו מוצאים: α = - g/L*x.

יישום מעשי של מטוטלת מתמטית

התאוצה משתנה בהתאם לקו הרוחב מכיוון שצפיפות קרום כדור הארץ אינה זהה בכל כדור הארץ. היכן שמתרחשים סלעים בעלי צפיפות גבוהה יותר, הוא יהיה מעט גבוה יותר. תאוצה של מטוטלת מתמטית משמשת לעתים קרובות לחקירה גיאולוגית. הוא משמש לחיפוש מינרלים שונים. פשוט על ידי ספירת מספר התנודות של מטוטלת, אפשר לזהות פחם או עפרה בבטן כדור הארץ. זה נובע מהעובדה שלמאובנים כאלה יש צפיפות ומסה גדולים יותר מהסלעים הרופפים שבבסיסם.

המטוטלת המתמטית שימשה מדענים מצטיינים כמו סוקרטס, אריסטו, אפלטון, פלוטארכוס, ארכימדס. רבים מהם האמינו שמערכת מכנית זו יכולה להשפיע על גורלו וחייו של אדם. ארכימדס השתמש במטוטלת מתמטית בחישוביו. בימינו, אוקולטיסטים ומדיומים רבים משתמשים במערכת מכנית זו כדי להגשים את נבואותיהם או לחפש אנשים נעדרים.

גם האסטרונום וחוקר הטבע הצרפתי המפורסם ק' פלמריון השתמש במטוטלת מתמטית למחקרו. הוא טען שבעזרתו הוא הצליח לחזות את גילויו של כוכב לכת חדש, את הופעת המטאוריט טונגוסקה ואירועים חשובים נוספים. במהלך מלחמת העולם השנייה פעל בגרמניה (ברלין) מכון מטוטלת מיוחד. כיום, מכון מינכן לפאראפסיכולוגיה עוסק במחקר דומה. עובדי הממסד הזה מכנים את עבודתם עם המטוטלת "רדיסתזיה".