☰

Как сделать объемный многогранник из бумаги. Как сделать из бумаги многогранник. Многогранники из бумаги - схемы. Разные грани - разные формы

Как сделать многогранник?

Необходимость сделать многогранник возникает нечасто, однако случается, что ребёнку на дом задают это задание или вы решаете сделать оригинальный подарок другу. А возможно, у вас возникла какая-то дизайнерская задумка. Так или иначе, понадобился многогранник из бумаги. Как его склеить?

Делаем многогранник из бумаги

Для того, чтобы процесс работы было проще описать, расскажем, как сделать из бумаги треугольную пирамиду или тетраэдр ABCD. Это фигура с четырьмя гранями в виде равносторонних треугольников. Для работы нам понадобятся:

Сначала рисуем на бумаге ближе к нижнему краю листа (но не на самом краю!) основание тетраэдра - равносторонний треугольник ABC. Удобнее будет нарисовать его вершиной вниз, но это не принципиально.

Чтобы треугольник получился действительно равносторонним, лучше всего воспользоваться линейкой и циркулем. Рисуем прямую, на ней отсекаем отрезок AB, равный стороне треугольника. Точки А и В будут двумя вершинами треугольника. Затем циркулем рисуем две дуги такого же точно размера с центрами в точках А и В. В месте пересечения дуг будет третья вершина С.

Если не хотите работать с циркулем, можно воспользоваться транспортиром. Углы в равностороннем треугольнике равны 60 градусам. Из точек А и В рисуем лучи под углом 60 градусов к отрезку. Точка их пересечения будет вершиной С.

Основание есть. Теперь к нему нужно пририсовать ещё три таких же точно треугольника - боковые грани тетраэдра. Принцип построения треугольников остаётся тем же самым, только в качестве основания новых треугольников-граней возьмём уже нарисованные стороны АВС. У нас получатся ещё три треугольника: АВD`, ВСD`` и САD```.

Нам нужно будет собрать все три вершины D`, D``, D``` в одну точку D и склеить фигуру. Для склейки потребуется пририсовать дополнительные полоски бумаги примерно по 0,5 см шириной к сторонам А D`, В D`` и С D```.

Теперь можно вырезать получившуюся фигуру, согнуть её аккуратно по всем линиям, намазать клеем дополнительные полоски и склеить.

Развёртку более сложных фигур делают точно так же. Но если не хочется думать самому, в интернете можно найти готовые. Например, вот изображены развёртки сразу нескольких фигур.

Здесь уже публиковались модели многогранников (http://master.forblabla.com/blog/45755567715/Mnogogranniki), но хочется добавить свои. Ссылка та же, на wenninger.narod.ru. У меня сначала появилась книга, потом, когда подключился к интернету, написал даже письмо автору и получил ответ, потом книга с письмом потерялись, но нашёл сайт и продолжил делать модели.

Если интересно, могу каждый сфотографировать отдельно.

Александр

Ну что ж, по просьбе трудящихся выкладываю фото всех многогранников. Названия я особо не помню, я их классифицирую по многогранному углу. В книге (Веннинджер. Модели многогранников) собраны как многогранники, так и их звёзчатые формы. Платоновы тела это 5 выпуклых правильных многогранников. У них грани одного типа (правильные треугольники, квадраты и пятиугольники) и все многогранные углы одинаковы. Архимед добавил ещё 13 выпуклых полуправильных многогранников (грани - разные многоугольники, но все углы по-прежнему одинаковы). А вот если брать не выпуклые многоугольники (в книге используются треугольники, квадраты, пятиугольники, восьмиугольники и десятиугольники), а их звёздчаные формы (пятиугольная, восьмиугольная и десятиугольная звезды), то получается масса новых многогранников. К тому же, грани могут соединяться также в виде звёзд, поэтому невыпуклые многогранники могут состоять, как из звёздчатых многоугольников, так и из выпуклых.

Наконец, аналогично тому, что продолжение линий превращает выпуклый многоугольник в звёздчатый, так и продолжение граней образует звёздчатые формы. Правда, известно только 4 правильных многогранников такого типа (все три звёздчатые формы додекаэдра и одна звёздчатая форма икосаэдра), у других либо грани - неправильные многоугольники, либо многогранник распадается на несколько отдельных многогранников.

Особую красоту дают формы, у которых грани видны с двух сторон, а также содержащие дыры, плюс те, части которых только касаются друг друга вершинами.

Конечно, у многогранников есть своя математика, но об этом потом.

Фото сопровождаются моделями многогранных углов. Это основание пирамиды, которая получится, если от вершины многогранника отрезать кусочек, как от торта. 3, 4, 5, 6, 8 и 10 обозначают выпуклые многоугольники, 5/2, 8/3 и 10/3 - пятиугольную, восьмиугольную и десятиугольную звезду (последовательность вершин делает соответственно 2, 3 и 3 оборота вокруг центра).

Поехали. Сначала треугольники. (в скобках - номера моделей из книги).

Бесконечное семейство призм.


Треугольная призма.

Черырёхугольная призма, гексаэдр, куб (3).

Пятиугольная призма и её звёздчатая форма.

Шестиугольная призма.


Тетраэдр (1).


Додекаэдр (5) и три его звёздчатые формы, которые являются правильными многогранниками: малый звёздчатый додекаэдр (20), большой додекаэдр (21) и большой звёздчатый додекаэдр (22):


Усечённый тетраэдр (6).


Усечённый октаэдр (7).


Усечённый гексаэдр (куб) (8).


Усечённый икосаэдр (9). Раньше так шили футбольные мячи.


Усечённый додекаэдр (10).


Ромбоусечённый кубооктаэдр (15).


Ромбоусечённый икосододекаэдр (16).

Квазиусечённый гексаэдр (92).


Квазиусечённый кубооктаэдр (93).


Большой квазиусечённый икосододекаэдр (был. Увы, изнутри был непрочным и однажды сломался). (108)

Переходим к многогранникам, у которых в угле сходится 4 грани.

Сначала вершинная фигура в виде квадрата.

Бесконечное семейство антипризм.


Треугольная антипризма, октаэдр (2), и его звёздчатая форма - звёздчатый октаэдр (19).

Квадратная антипризма и её две звёздчатые формы.


Кубооктаэдр (11) и его звёздчатые формы (43 - 46).


Икосододекаэдр (12) и его звёздчатые формы (47, 63, 64), а в книге их очень много.


Ромбокубооктаэдр (13) и его звёздчатая форма.

А вот этот многогранник (псевдоромбокубооктаэдр) наделал много шума, т.к. его опубликовали только спустя 2000 лет после Архимеда (на рубеже 50-60 г.г. 20-го века). На самом деле, у него есть дефект: когда я говорил, что у полуправильных многогранников углы (вершинная модель) одинаковые, то можно заметить, что порядок обхода граней у соседних вершин всегда зеркальный, например, если у одной вершины грани идут в порядке 3-4-4-4 по часовой стрелке, то у соседней вершины тот же порядок, но против часовой стрелки. Так вот, у псевдоромбокубооктаэдра встречаются пары вершин, у которых нет зеркальной симметрии.


Ромбоикосододекаэдр (14).


Малый икосоикосододекаэдр (71).


Додекододекаэдр (73).


Ромбододекододекаэдр (76).


Большой икосододекаэдр (94).


Большой додекоикосододекаэдр (99).

Теперь многогранники, у которых тоже 4 грани сходятся в одной вершине, но порядок крест-накрест:


Тетрагемигексаэдр (67).


Октагемиоктаэдр (68).


Малый кубокубооктаэдр (69).

3.1 «Рождение» великого физика Д.К.Максвелла

Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: «… я сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для которых не знаю правильного названия». Эти слова ознаменовали рождение в пока ничем не примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла (Приложение 3). Думаю, что и вас, и ваших родных увлечёт изготовление моделей геометрических тел.

Кроме традиционных ёлочных украшений (хлопушек и фонариков) можно изготовить геометрические игрушки. Это модели правильных многогранников, сделанные из цветной бумаги. Ведь их форма – это образец совершенства! Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочётов. И если потрудиться над их изучением и изготовлением, то наверняка они доставят радость и удовольствие, а возможно принесут и удачу.

3.2 Развёртки правильных многогранников

Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием так называемых развёрток.

Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Мо­дели многогранников можно сделать, поль­зуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.


3.3 Способ «плетения»

Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё один способ, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги. Без применения клея модель приобретает жёсткую структуру после того, как будет заправлен последний кусочек бумаги.

Для того чтобы сплести тетраэдр, нужно:

Плетём куб:

Если полоски разного цвета, то у получившегося куба противоположные грани одинакового цвета. Этот способ интересен тем, что любые две полоски не зацеплены одна с другой, а все три зацеплены.

Возможно, при виде моделей многогранников кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это можно ответить так: «А разве всё красивое полезно?»

3.4 Ещё один способ изготовления многогранников

Для изготовления моделей многогранников можно воспользоваться рекомендациями, данными в книге М. Винниджера «Модели многогранников». «Автор этой книги, заражая своим энтузиазмом читателя, даёт ему ясные и четкие указания о том, как изготовить модели различных многогранников. Объяснения проиллюстрированы фотографиями моделей из собрания автора – возможно, наиболее полного в настоящее время. Но фотографии не в состоянии передать всего великолепия самих моделей. Наиболее сложные «курносые» модели не только крайне трудны в изготовлении, но и весьма декоративны. Это ли не превосходный пример родства истины и красоты!» – отмечает в предисловии к книге Г.С.М. Кокстер.

М. Винниджер отмечает: «Время, которое я затратил на изготовление моделей невыпуклых однородных многогранников, в существенной степени зависело от характера модели. Так, на простейшие из них требовалось не более трех-четырех часов, а в среднем же приходилось затрачивать восемьдесят часов, а некоторые сложные модели занимали двадцать-тридцать часов. Две модели отняли у меня свыше сотни часов каждая. Теперь, когда работа завершена, я, пожалуй, соглашусь с тем, что ее объем поразил и меня. Но китайская пословица гласит: «Если ты собираешься пройти тысячу ли, начни с того, что сделай первый шаг». За первым шагом последует другой, и вскоре красота открывшихся взору путника видов заставит его забыть о трудностях пути».

Прежде чем приступить к изготовлению многогранников ниже приведённым способом, необходимо познакомиться с общими рекомендациями. (Приложение 4).

3.4.1 Тетраэдр

Все четыре гра­ни тетраэдра – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число гра­ней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, харак­терными для однородных многогран­ников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отде­ляется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетра­эдра также равны между собой. Если нужно сде­лать модель тетраэдра разноцветной, следу­ет приготовить развертки для каждого типа грани в виде отдельного много­угольника. Для этого понадо­бится всего один трафарет в виде рав­ностороннего треугольника.

Необходимо сделать четыре заготовки разного цвета – например, Ж, С, О и К. При этом нужно оставить наклейки с каждой стороны, как показано на рисунке. Теперь склеиваем все четыре заготовки вместе, затем соединяем несклеенные боковые грани и склеиваем вначале только две из них между собой. Затем накладываем клей на оставшиеся наклейки и приклеиваем последнюю грань, как бы закрывая коробку.

Октаэдр

Так как его противоположные грани октаэдра лежат в параллельных плоскостях, то можно превосходно обойтись всего четырьмя красками. Модель этого многогран­ника мы начинаем делать, склеивая четыре треугольника. После того как склеим между собой грани 1 и 4, то в наших руках окажется правильная четырехугольная пирамида без квад­ратного основания. Эта часть состав­ляет ровно половину модели.

Вторая половина энантиоморфна первой. Тем не менее, проще продол­жить работу в такой последовательно­сти: сначала приклеить наклейки че­тырех оставшихся треугольников к соответствующим наклейкам на сторо­нах квадратного основания. Нужно просле­дить, чтобы противоположные грани октаэдра имели один и тот же цвет. Затем последовательно склеить наклейки соседних граней, сно­ва закрывая модель последним тре­угольником, как крышкой. Теперь можно заметить, что квадрат, только что послуживший основанием первой половины модели, на самом деле всего лишь один из трёх квадратов такого рода, которые можно видеть на полной модели. При этом ребра квадратов лежат в трёх взаимно перпендикуляр­ных плоскостях.

3.4.3 Гексаэдр (куб)

Несомненно, куб, или, как его иногда называют математики,гексаэдр – са­мый общеизвестный и широко исполь­зуемый многогранник. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каж­дой вершине. Можно начать по­стройку модели куба, выбрав один квадрат и присоединив к нему четыре других, как показано на рисунке. Затем нужно склеить наклейки соседних боковых граней, причём склеенные по­парно наклейки вновь образуют как бы жесткий скелет многогранника. Оста­ется добавить последнюю грань, и это действие уже с полным правом можно будет уподобить закрыванию ящика крышкой.

Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогран­ник. Но он обладает несколькими уди­вительными свойствами в отношении других Платоновых и некоторых архи­медовых тел. А объединение пяти ку­бов можно поместить в додекаэдр, и при этом получается очень красивая модель.

Икосаэдр

Икосаэдр – одно из пяти платоновых тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединя­ет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние тре­угольники. При изготовлении модели икосаэдра можно выбрать любую из двух эффектных возможностей распре­деления пяти цветов. Во-первых, ико­саэдр может быть раскрашен так, что у каждой вершины встретятся все пять цветов (правда, в таком случае проти­воположные грани не будут окрашены одинаково). Другой способ обеспечи­вает противоположным граням одина­ковые цвета, зато у каждой вершины, за исключением двух полярных, будет повторяться по кругу один цвет. Обе раскраски очень интересны. Обе модели можно строить, исходя из одного и того же начального расположения пяти равносторонних треугольников. Они образуют невысо­кую пятиугольную пирамиду без осно­вания. К сторонам её основания нужно при­клеить следующие пять треугольников, руководствуясь той или иной таблицей раскраски. Между ними приклеивается по одному треугольнику – это сделать несложно, если обратить внимание на то, что в каждой вершине сходятся пять граней. Завершая модель, при­клеивают последние пять треугольников. Чтобы облегчить пользование таб­лицами раскраски, нужно запомнить: первая строка любой таблицы задает раскрас­ку пяти треугольников, окружающих «северную полярную» вершину ико­саэдра. Последующие две строки ука­зывают раскраску «экваториального» кольца из десяти чередующихся равно­сторонних треугольников. Наконец, четвертая строка показывает раскрас­ку граней у, «южного полюса» икоса­эдра.

Интересен порядок рас­краски не только вблизи «полюсов», но и у других десяти вершин, то по этим таблицам его тоже легко найти. Надо совершить круговой обход по таблице по следующему правилу: на­чиная с двух соседних цветов в крайней строке, опуститься (или подняться) на следующую строку, затем еще на одну и после этого вернуться на исходные. Например:

Это наводит на мысль о том, что таблицы раскраски можно задавать совершенно по-иному – нумеруя вер­шины и выписывая порядок чередова­ния цветов у каждой из них. Правда, это приведёт к тому, что каждая тре­угольная грань икосаэдра будет по­именована в такой таблице трижды, но все же таблицы удобны: с их по­мощью легче последовательно «об­клеивать» вершину. Для икоса­эдра таблицы этого типа выглядят так:

Здесь указаны раскраски только шести вершин, причем вершина (0) – снова «северный полюс» икосаэдра. Для обе­их моделей вершины, противополож­ные этим, имеют энантиоморфную рас­краску. Её можно получить, читая со­ответствующую строку в обратном порядке, то есть справа налево.

Додекаэдр

В известном смысле додекаэдр пред­ставляет наибольшую привлекатель­ность среди Платоновых тел, соперни­чая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит). Пожалуй, пальму пер­венства додекаэдр получает за свои три звездчатые формы, описываемые ниже.

Модель этого многогранника можно сделать четырёхцветной двумя спосо­бами; если же воспользоваться для раскраски шестью цветами, то про­тивоположные грани легко сделать од­ноцветными. Такую раскраску хорошо перенести на упомянутые выше звезд­чатые формы додекаэдра. Приводим описание.

Построение модели начинается с приклеивания пяти разноцветных пяти­угольников – скажем, Ж, С, О, К, 3 – к одному центральному пятиугольни­ку, например белого цвета (Б). После этого следует склеить цветные пятиугольники между собой – и по­ловина дела сделана. Остаётся подклеить остальные грани додекаэд­ра к уже сделанной половине таким образом, чтобы противоположные гра­ни были одноцветными.

На рисунке показана четырехцветная раскраска додекаэдра. Можно восполь­зоваться и энантиоморфным порядком цветов. Иногда удобнее обращаться именно к такой раскраске – особенно для моделей, имеющих симметрию до­декаэдра.

Заключение

Миром красоты и гармонии мы называем правильные многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников – «Тела Платона», 13 полуправильных выпуклых многогранников – «Тела Архимеда» и 4-х невыпуклых многогранников – «Тела Пуансо – Кеплера» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин.

Подводя итоги своей работы, я могу сделать вывод: существует 5 правильных выпуклых многогранников: тетраэдр (четырёхгранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник) – Платоновы тела, 4 звездчатых правильных многогранника – тела Кеплера – Пуансо, 13 полуправильных многогранников – тела Архимеда. В работе описаны их свойства, даны развёртки для их изготовления, показано, где они встречаются в природе.

Выполняя работу, я научилась изучать литературу по названной теме, делать анализ прочитанного, выбирать нужный материал, искать ответы на возникающие вопросы, делать выводы.

При работе над рефератом «В мире правильных многогранников» я прикоснулась к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики – в природе, окружающей нас.

В ходе данного исследования был проведён анализ определений правильных многогранников, установлены условия существования правильных многогранников, выявлены свойства правильных многогранников, сделано описание технологии их построения.

Литература

1. Александров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжин В.И. Начало стереометрии. – М.: Просвещение, 1981.

2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2001.

3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия. Учебник для 7 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1992.

4. Веннинджер М. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974.

5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука,1972.

6. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.

7. Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия 9 – 10 класс. – М.: Просвещение, 1983.

8. Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для 7- 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990.

9. Савин А. П., Станцо В. В., Котова А. Ю. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: АСТ, 1999.

10. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.

11. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1999.

12. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. №24, 2004.с. 15-32.

Приложение 1

ПЛАТОН (428 или 427 до н. э. - 348 или 347), древнегреческий философ. Ученик Сократа, ок. 387 основал в Афинах школу. Идеи (высшая среди них - идея блага) - вечные и неизменные умопостигаемые прообразы вещей, всего преходящего и изменчивого бытия; вещи - подобие и отражение идей. Познание есть анамнесис - воспоминание души об идеях, которые она созерцала до ее соединения с телом. Любовь к идее (Эрос) - побудительная причина духовного восхождения. Идеальное государство - иерархия трех сословий: правители-мудрецы, воины и чиновники, крестьяне и ремесленники. Платон интенсивно разрабатывал диалектику и наметил развитую неоплатонизмом схему основных ступеней бытия. В истории философии восприятие Платона менялось: «божественный учитель» (античность); предтеча христианского мировоззрения (средние века); философ идеальной любви и политический утопист (эпоха Возрождения). Сочинения Платона - высокохудожественные диалоги; важнейшие из них: «Апология Сократа», «Федон», «Пир», «Федр» (учение об идеях), «Государство», «Теэтет» (теория познания), «Парменид» и «Софист» (диалектика категорий), «Тимей» (натурфилософия).

ПЛАТОН (427-347 или 348 до н. э.), древнегреческий мыслитель, наряду с Пифагором, Парменидом и Сократом - родоначальник европейской философии; глава философской школы Академия.

Жизнь

Происходил из аристократической семьи, принимавшей активное участие в политической жизни Афин (род его отца Аристона, по преданию, восходил к мифическому царю Кодру; среди предков матери, Периктионы, - законодатель Солон; после победы спартанцев в Пелопоннесской войне дядя Платона, Хармид, - один из Десяти ставленников Лисандра в Пирее в 404-403, Критий - один из Тридцати тиранов в Афинах).

Получил традиционное для аристократического юноши хорошее воспитание (физическое и мусическое). В юности слушал софиста гераклитовской ориентации Кратила, в 20 лет познакомился с Сократом, начал регулярно посещать его беседы и отказался от реальной политической карьеры. Отличался крайней застенчивостью и замкнутостью.

Платон. Из «Апологии Сократа»

После смерти Сократа (399) Платон уезжает в Мегары. Принимает участие в Коринфской войне, в походах в Танагру (395) и Коринф (394). В 387 посещает Южную Италию, Локры Эпизефирские - родину древнейших записанных законов Залевка (из Локр происходит пифагореец Тимей, именем которого назван знаменитый диалог Платона, путешествие вообще задумывалось прежде всего ради знакомства с пифагорейцами). В Сицилии (Сиракуза), он знакомится с Дионом, приближенным правителя Сиракуз Дионисия I Старшего. По возвращении из Сицилии (387) основал в Афинах свою философскую школу - в гимнасии Академия. Знакомство с Дионом, попавшим под обаяние личности Платона и его образа мыслей, способствовало тому, что в 367-366 и 361 Платон совершил еще две поездки в Сицилию.

Школа Платона

Использование общественных гимнасиев для занятий науками и ораторским искусством было обычным для Афин 5-4 вв.; «школа Платона», вероятно, формировалась постепенно, по названию гимнасия она также стала именоваться Академией. Среди принадлежавших к платоновскому кружку - его племянник Спевсипп, ставший во главе Академии после смерти Платона, Ксенократ, третий схоларх Академии, знаменитый математик и астроном Евдокс Книдский, остававшийся во главе школы во время второй поездки Платона в Сицилию. В 366 в Академии появляется Аристотель и остается там вплоть до смерти Платона.

Сочинения

До нас дошло издание сочинений Платона, предпринятое пифагорейцем Трасиллом Александрийским, придворным астрологом императора Тиберия (ум. 37), разбитое на тетралогии:

«Евтифрон», «Апология», «Критон», «Федон».

«Кратил», «Теэтет», «Софист», «Политик».

«Парменид», «Филеб», «Пир», «Федр».

«Алкивиад I», «Алкивиад II», «Гиппарх», «Соперники».

«Феаг», «Хармид», «Лахет», «Лисид».

«Евтидем», «Протагор», «Горгий», «Менон».

«Гиппий Больший», «Гиппий Меньший», «Ион», «Менексен».

«Клитофонт», «Государство», «Тимей», «Критий».

«Минос», «Законы», «Послезаконие», «Письма».

Помимо этого под именем Платона дошел ряд других диалогов.

Начиная с конца 17 в., корпус текстов Платона, подвергался тщательному критическому рассмотрению с точки зрения их подлинности и хронологии.


Похожая информация.


Додекаэдром называется правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Эта эффектная объемная фигура обладает центром симметрии, называемым центром додекаэдра. Кроме того, в ней присутствуют пятнадцать плоскостей симметрии (в каждой грани любая из них проходит через середину противоположного ребра и вершину) и пятнадцать осей симметрии (пересекающих середины параллельных противолежащих ребер). Каждая из вершин додекаэдра является вершиной трех пятиугольников правильной формы.

Свое название конструкция получила по количеству входящих в нее граней (традиционно древние греки давали многогранникам имена, отображающие число граней, составляющих структуру фигуры). Таким образом, понятие «додекаэдр» образовано из значений двух слов: «додека» (двенадцать) и «хедра» (грань). Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и ). Интересно, что согласно многочисленным историческим документам, все они активно использовались жителями Древней Греции в виде настольных игральных костей и изготавливались из самого различного материала.

Правильные многогранники всегда привлекали людей своей красотой, органичностью и необыкновенным совершенством форм, но додекаэдр имеет особую историю, которая из года в год обрастает все новыми, иногда совершенно мистическими, фактами. Представители многих цивилизаций усматривали в нем сверхъестественную и таинственную сущность, утверждая, что: «Из числа двенадцать произрастает многое». На территориях древних разрушенных государств до сих пор находят маленькие фигурки в виде додекаэдров, выполненные из бронзы, камня или кости. Кроме того, при раскопках на землях современной Англии, Франции, Германии, Венгрии, Италии археологи обнаружили несколько сотен так называемых «римских додекаэдров», датирующихся II-III-м веками нашей эры. Основные размеры фигурок составляют от четырех до одиннадцати сантиметров, причем отличаются они самыми невероятными узорами, текстурами и техникой исполнения. Выдвинутая еще во времена Платона версия о том, что Вселенная представляет собой огромного размера додекаэдр, нашла подтверждение уже в начале XXI -го века. После тщательного анализа данных, полученных при помощи WMAP(многофункционального космического аппарата NASA), ученые согласились с предположением древнегреческих астрономов, математиков и физиков, в свое время занимавшихся вопросами изучения небесной сферы и ее строением. Более того, современные исследователи считают, что наша Вселенная представляет собой бесконечно повторяющийся набор додекаэдров.

Как сделать правильный додекаэдр своими руками

Сегодня конструкция данной фигуры нашла свое отображение во многих вариантах художественного творчества, архитектуре и строительстве. Народные умельцы изготавливают из цветной или белой бумаги необыкновенные по красоте оригами в виде ажурных додекаэдров, а из картона делают оригинальные и прочее). В продаже можно приобрести уже готовые наборы, содержащие все необходимое для изготовления сувениров, но наиболее интересно произвести весь процесс работы своими руками, начиная от построения отдельных деталей и заканчивая сборкой готовой конструкции.

Материалы:

Для того, чтобы сделать правильный додекаэдр из картона, необходим собственно сам материал и подручные средства:

  • ножницы,
  • карандаш,
  • ластик,
  • линейка,
  • клей.

Хорошо иметь тупой нож или какое-либо приспособление для загибания припусков, но если их нет, то вполне подойдет металлическая линейка или те же ножницы.

Как сделать звездчатый додекаэдр

Звездчатые додекаэдры имеют более сложную конструкцию по сравнению с обычными. Эти многогранники подразделяются на малый (первого продолжения), средний (второго продолжения) и большой (последняя звездчатая форма правильного додекаэдра). Каждый из них отличается своими особенностями построения и сборкой. Для работы Вам потребуются те же материалы и инструменты, что и для изготовления стандартного додекаэдра. Если Вы решили сделать первый вариант (малый додекаэдр), то необходимо построить чертеж первого элемента, который станет основой для всей конструкции (в дальнейшем производится ее склеивание или сборка деталей при помощи скрепок).

    Для изготовления объемных геометрических фигур главное иметь шаблоны, которые можно вырезать, а затем склеить.

    Можно сделать из белой или из цветной бумаги. Можно вырезать из бумаги с каким-либо рисунками или же цифрами.

    Предлагаю сделать не совсем обычную объемную фигуру в технике оригами. Смотрим видео:

    Чтобы дети лучше запомнили, какие бывают геометрические фигуры, и знали, как они называются, можно из плотной бумаги или картона сделать объемные геометрические фигуры . Кстати, на основе их можно изготовить красивую подарочную упаковку.

    Понадобятся:

    • плотная бумага, либо картон (лучше цветные);
    • линейка;
    • карандаш;
    • ножницы;
    • клей (лучше ПВА).

    Самое сложное - это разработать и начертить развртки, нужны хотя бы базовые знания черчения. Можно взять и готовые развртки и распечатать на принтере.

    Чтобы линия сгиба была ровной и острой, можно воспользоваться тупой иглой и металлической линейкой. При проведении линии иголку нужно сильно нагнуть в направлении движения, практически положив е набок.

    Это развертка трехгранной пирамиды

    Это развертка куба

    Это развертка октаэдра (четырехгранной пирамиды)

    Это развертка додекаэдра

    Это развертка икосаэдра

    Вот здесь можно найти шаблоны более сложных фигур (Платоновы Тела, Архимедовы тела, многогранники, полиэдры, разные виды пирамид и призм, простые и косые бумажные модели).

    Объемные геометрические фигуры являются лучшим способом изучение малышом окружающего мира. Отличный учебный материал/отличное учебное пособие для в изучении геометрических фигур - это, как раз, объемные фигуры. Таким способом лучше запоминаются геометрические фигуры.

    Лучши материал для изготовления подобных объемных фигур - это плотная бумага (можно цветную) или же картон.

    Для изготовления понадобятся кроме бумаги еще и карандаш с линейкой, а также ножницы и клей (вырезать и клеить развертки).

    Нужно начертить подобным образом развертки и вырезать их:

    После чего их нужно склеивать край к краю.

    Должны получится следующего вида объемные геометрические фигуры:

    Вот несколько схем, по которым можно изготовить объмные геометрические фигуры.

    Самая простая - тетраэдр .

    Чуть сложнее будет изготовить октаэдр .

    А вот эта объмная фигура - додекаэдр .

    Ещ одна - икосаэдр .

    Более подробно об изготовлении объмных фигур можно посмотреть здесь.

    Вот так выглядят объмные фигуры не в собранном виде:

    А вот так выглядят уже готовые:

    Из объмных геометрических фигур можно сделать много оригинальных поделок, в том числе и упаковки для подарка.

    Прежде чем начать делать объемные геометрические фигуры, нужно представить (или знать как выглядит) фигуру в 3D измерении: сколько граней имеет та или иная фигура.

    Сначала необходимо правильно начертить на бумаге фигуру по граням, которые должны быть соединены между собой. У каждой фигуры грани имеют определенную форму: квадрат, треугольник, прямоугольник, ромб, шестиугольник, круг и т.д.

    Очень важно, чтобы длина ребер фигуры, которые будут соединены друг с другом имели одинаковую длину, чтобы во время соединения не возникло проблем. Если фигура состоит из одинаковых граней, я бы предложила сделать шаблон во время черчения использовать этот шаблон. Так же можно скачать из интернета готовые шаблоны, распечатать их, согнуть по линиям и соединить (склеить).

    Шаблон конуса:

    Шаблон пирамиды:

    Изготовление объемных геометрических фигур вам понадобится как на школьных занятиях, так и для изучения фигур с малышами. Этот процесс можно превратить в игру, делая из картона плотные объемные геометрические фигуры.

    Для изготовления фигур нам понадобится - карандаш, линейка, цветной картон, клей.

    Можно распечатать схемы из интернета, потом нанести их на плотную бумагу, не забывая про линии сгиба, которые будут склеиваться между собой.

    А воспользоваться можно следующими схемами:

    А вот они уже в готовом виде.

    Так вы весело и с пользой сможете провести с малышом время, изучая геометрические фигуры.

    Самостоятельно смастерив из бумаги объмные фигуры можно не только использовать их для развлечения, но и для обучения.

    К примеру, можно наглядно показать ребнку как выглядит та или иная фигура, дать е подержать в руках.

    Либо можно с целью обучения распечатать схемы со специальными обозначениями.

    Так предлагаю ниже ознакомиться со семой додекаэдра , как простой, так и с небольшими рисунками, которые только привлекут внимание малыша и обучение сделают более веслым и занимательным.

    Также схему куба можно использовать для обучения цифрам.

    Схема пирамиды может помочь усвоить формулы, которые относятся к данной фигуре.

    Кроме того, предлагаю ознакомиться со схемой октаэдра .

    Схема тетраэдра помимо прочего поможет изучить цвета.

    Как вы поняли, вышеприведнные шаблоны необходимо распечатать, вырезать, согнуть по линиям, склеить по специальным узким полосочкам, прилегающим к избранным сторонам.

    Объемные геометрические фигуры просто необходимы при обучении: они предоставляют ученикам возможность держать их в руках, рассматривать, что является важной частью учебного процесса, они просто необходимы в качестве пособия при изучении знаменитой теоремы Эйлера - наглядно демонстрируя, что даже при деформациях, искривлениях число граней многогранника, а значит и соотношение Эйлера, останется неизменным:

    Кроме того, объемные фигуры могут служить отличным пособием, помогающим объяснить ученикам, как найти площадь поверхности многогранника.

    Итак, с помощью приведенных ниже шаблонов Вы можете легко сделать следующие фигуры:

    Треугольная Призма

    N-угольная призма

    Тетраэдр

    Икосаэдр

    И еще несколько редких объемных геометрических фигур можно найти по этой ссылке.