Превращения энергии при гармонических колебаниях.
При колебаниях математического маятника полная энергия системы складывается из кинетической энергии материальной точки (шарика) и потенциальной энергии материальной точки в поле сил тяготения. При колебаниях пружинного маятника полная энергия складывается из кинетической энергии шарика и потенциальной энергии упругой деформации пружины:
При прохождении положения равновесия и в первом и во втором маятнике кинетическая энергия шарика достигает максимального значения, потенциальная энергия системы равна нулю. При колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную энергию системы, полная энергия системы при этом остается неизменной, если отсутствуют силы сопротивления (закон сохранения механической энергии). К примеру, для пружинного маятника можно записать:
В колебательном контуре (рис.14.1.с) полная энергия системы складывается из энергии заряженного конденсатора (энергии электрического поля )и энергии катушки с током (энергии магнитного поля . Когда заряд конденсатора максимален, ток в катушке равен нулю (см. формулы 14.11 и 14.12), энергия электрического поля конденсатора максимальна, энергия магнитного поля катушки равна нулю. В момент времени, когда заряд конденсатора равен нулю, ток в катушке максимален, энергия электрического поля конденсатора равна нулю, энергия магнитного поля катушки максимальна. Также как и в механических осцилляторах, в колебательном контуре происходит периодическое превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля, полная энергия системы при этом остается неизменной, если отсутствует активное сопротивление R . Можно записать:
. (14.15)
В случае если в процессе колебаний на математический или на пружинный маятник действуют внешние силы сопротивления, а в цепи колебательного контура есть активное сопротивление R , энергия колебаний, а значит, и амплитуда колебаний будут уменьшаться. Такие колебания называются затухающими колебаниями , на рисунке 14.2 приведен график зависимости колеблющейся величины Х от времени.
|
§ 16. Переменный электрический ток.
С источниками постоянного тока мы уже знакомы, знаем, для чего они нужны, знаем законы постоянного тока. Но гораздо большее практическое значение в нашей жизни имеет переменный электрический ток, который используется в быту, на производстве и других областях человеческой деятельности. Сила тока и напряжение переменного тока (к примеру, в осветительной сети нашей квартиры) меняются со временем по гармоническому закону. Частота промышленного переменного тока – 50Гц. Источники переменного тока разнообразны по своему устройству и характеристикам. Проволочную рамку, вращающуюся в постоянном однородном магнитном поле, можно рассматривать как простейшую модель генератора переменного тока. На рис.14.3 рамка вращается вокруг вертикальной оси ОО , перпендикулярной силовым линиям магнитного поля, с постоянной угловой скоростью . Угол α между вектором и нормалью меняется по закону , магнитный поток через поверхность S , ограниченную рамкой, меняется со временем, в рамке возникает ЭДС индукции.
Рассмотрим превращение энергии при гармонических колебаниях в двух случаях: в системе нет трения; в системе есть трение.
Превращения энергии в системах без трения. Смещая шарик, прикрепленный к пружине (см. рис. 3.3), вправо на расстояние х m , мы сообщаем колебательной системе потенциальную энергию:
При движении шарика влево деформация пружины становится меньше, и потенциальная энергия системы уменьшается. Но одновременно увеличивается скорость и, следовательно, возрастает кинетическая энергия. В момент прохождения шариком положения равновесия потенциальная энергия колебательной системы становится равной нулю (W п = 0 при х = 0). Кинетическая же энергия достигает максимума.
После прохождения положения равновесия скорость шарика начинает уменьшаться. Следовательно, уменьшается и кинетическая энергия. Потенциальная же энергия системы снова увеличивается. В крайней левой точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Нетрудно проследить за тем, что такие же превращения механической энергии из одного ее вида в другой происходят и в случае математического маятника.
Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной системы:
Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. Но полная механическая энергия изолированной системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, сохраняется (согласно закону сохранения механической энергии) неизменной. Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо же кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия:
Энергия колеблющегося тела прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний координаты или квадрату амплитуды колебаний скорости (см. формулу (3.26)).
Свободные колебания груза, прикрепленного к пружине, или маятника являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения. Но силы трения, или, точнее, силы сопротивления окружающей среды, хотя, может быть, и малые, всегда действуют на колеблющееся тело.
Силы сопротивления совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. В конце концов, после того как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Колебания при наличии сил сопротивления являются затухающими .
График зависимости координаты тела от времени при затухающих колебаниях изображен на рисунке 3.10. Подобный график может вычертить само колеблющееся тело, например маятник.
На рисунке 3.11 изображен маятник с песочницей. Маятник на равномерно движущемся под ним листе картона струйкой песка вычерчивает график зависимости своей координаты от времени. Это простой метод временной развертки колебаний, дающий достаточно полное представление о процессе колебательного движения. При небольшом сопротивлении затухание колебаний на протяжении нескольких периодов мало. Если же к нитям подвеса прикрепить лист плотной бумаги для увеличения силы сопротивления, то затухание станет значительным.
В автомобилях применяются специальные амортизаторы для гашения колебаний кузова при езде по неровной дороге. При колебаниях кузова связанный с ним поршень движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Жидкость перетекает через отверстия в поршне, что приводит к появлению больших сил сопротивления и быстрому затуханию колебаний.
Энергия колеблющегося тела при отсутствии сил трения сохраняется неизменной.
Если на тела системы действуют силы сопротивления, то колебания являются затухающими.
Превращение энергии при колебательном движении.
Затухающие колебания
Тип урока : комбинированный.
Задачи урока:
Образовательная: Изучить возможные превращения энергии в колебательных системах. Подтвердить справедливость закона сохранения механической энергии в колебательных системах. Понять взаимосвязь физических величин при колебательном процессе.
Воспитательная : внести максимализм в мотивы социального поведения для достижения определенной цели посредством решения экспериментальных задач.
Развивающая : развитие некоторых элементов умственной деятельности: умение выдвигать гипотезы, умение проверять гипотезы, наблюдать, делать выводы.
Оборудование к уроку: математический маятник, пружинный маятник, штатив, линейка, секундомер.
План урока:
Этап урока | Приемы и методы | время |
|
Проверка домашнего задания, повторение | Устный опрос | 5 мин |
|
Изучение нового материала | Лекция (компьютерная динамическая модель + реальный маятник) (компьютерные технологии) | 15 мин |
|
физкультминутка | (здоровьесбережение) | 1 мин |
|
Закрепление и обобщение изученного | Решение экспериментальной задачи, с элементами игры (игра, проблемное обучение, групповое обучение) | 20 мин |
|
Подведение итогов | Обсуждение пройденного материала | 4 мин |
Ход урока:
I. Проверка домашнего задания, повторение
- Что называется амплитудой, периодом колебания, частотой колебания? Какой буквой обозначается и в каких единицах измеряется каждая из этих величин?
- Что такое полное колебание?
- Какая математическая зависимость существует между периодом и частотой колебания?
- Как найти период математического маятника?
- От чего зависит период пружинного маятника?
- Как направлены по отношению друг к другу скорости двух маятников в любой момент времени, если эти маятники колеблются в противоположных фазах; в одинаковых фазах?
- Какие колебания называются гармоническими?
- Как меняются действующая на тело сила, его ускорение и скорость при совершении им гармонических колебаний?
II. Новый материал
Рассмотрение нового материала удобно начать с показа колебаний грузов, закрепленных на нитях. Для наглядности удобно взять нити равной длины, а грузы - разной формы. Например, шарик и тонкую пластинку.
Легко заметить, что колебания во второй системе будут затухать быстрее, чем в первой (рис. 1).
Видно, что полная механическая энергия быстрее убывает во второй системе. Почему? Ясно, что любая колебательная система будет совершать колебания до тех пор, пока обладает энергией. Отводя маятник от положения равновесия, мы сообщаем системе начальную энергию (рис. 1). Она равна потенциальной энергии тела: Е п = mgh.
Рис. 1
Отпустив маятник, мы видим, что скорость тела возрастает, а значит, возрастает и его кинетическая энергия. Из закона сохранения механической энергии уменьшение потенциальной энергии
приводит к эквивалентному увеличению кинетической энергии. Для любой точки траектории, если в системе нет сил трения, справедливо:
т.е.
Если тело находится в крайних положениях, система обладает полной энергией Е, определяемой только потенциальной энергией. А в положении равновесия полная энергия равна максимальной кинетической энергии груза:
Важно понять, что составляющие полной энергии Е к и Е р не просто изменяются во времени, а изменяются периодически с заданным периодом колебаний в системе. Период изменения Е к и Е р в2 раза меньше периода колебаний Т.
Обычно реальные системы обладают собственным трением, и присутствует сила сопротивления среды.
Поэтому колебания в таких системах являются затухающими: полная механическая энергия начинает уменьшаться, т.к. уходит на преодоление сил трения. Следовательно, амплитуда колебаний уменьшается, и, когда работа силы трения становится равна по модулю исходной полной энергии в системе, колебания прекращаются.
Но на колебательную систему может действовать периодическая внешняя сила. Такая сила называется вынуждающей силой.
Тряска автомобиля, движущегося по неровной дороге, движение качелей, которые кто-то периодически подталкивает - все это вынужденные колебания.
Свободные колебания с течением времени затухают. Поэтому на практике чаще используются не свободные колебания, а вынужденные. Наиболее широко они применяются в различных вибрационных машинах.
3. Закрепление и обобщение изученного: Решение экспериментальной задачи.
Обучающимся предлагается экспериментальная задача: перед ними устанавливается пружинный маятник, масса груза известна. Дается линейка, секундомер.
Задание: с помощью подручных средств и полученных знаний узнать всё, что только возможно .
Все происходит в виде игры: ученики по-очереди выходят к доске и показывают вычисление любой из величин. Последний выступающий получает существенный бонус в виде внеочередной отличной оценки.
Варианты измерений и вычислений:
Амплитуда, период, частота, жесткость пружины, кинетическая и потенциальная энергия в нижней точке, в верхней точке, в середине движения. Полная механическая энергия. Сила тяжести грузика, сила упругости в различных точках. Скорость грузика в различных точках, путь за период и др.
III. подведение итогов
Обсуждение вопросов
процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере пружинного маятника.
- Почему свободные колебания маятника затухают? При каких условиях колебания могут стать незатухающими?
- Чем определяется частота свободных колебаний? Почему ее называют собственной частотой колебательной системы?
- В каких машинах применяются вынужденные колебания?
Домашнее задание: §28, §28, Упражнение 25.
Меняется во времени по синусоидальному закону:
где х — значение колеблющейся величины в момент времени t , А — амплитуда , ω — круговая частота, φ — начальная фаза колебаний, (φt + φ ) — полная фаза колебаний . При этом величины А , ω и φ — постоянные.
Для механических колебаний колеблющейся величиной х являются, в частности, смещение и скорость , для электрических колебаний — напряжение и сила тока .
Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний).
Превращения энергии при гармонических колебаниях.
В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии W p в кинетическую W k и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальней-шее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего перво-начального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π ). Полная энергия колебаний W остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости , она равна:
где v m — максимальная скорость тела (в положении равновесия), х m = А — амплитуда.
Из-за наличия трения и сопротивления среды свободные колебания затухают: их энергия и амплитуда с течением времени уменьшаются. Поэтому на практике чаще используют не свободные, а вынужденные колебания.